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34 Kapitel 2, § 3. 



Dies soll also gleich Null sein vermöge j~ = oder y" = und 



zwar für alle Werte, die a;, «/ und ^ haben mögen. Diese Forderung 

 führt auf die vier Bedingungen : 



tl^xx(Px — q>xxi>x = 0, ■ 



-tl^xxfPy (pxx'^y +' 2ll)a:y(px '^ffxytx = 0, 



tyyCpx — (Pyytx + 2lpxyfPy — '^<pxyi>y = 0, 



-tpyyfpy — <Pyyty = 0. 



Nach unserem obigen Ergebnis wissen wir, dass die Transfor- 

 mation (16) projectiv ist, sobald qp und ip diese Bedingungen erfüllen. 

 Durch wirkliche Integration dieser Differentialgleichungen wird man 

 folglich dazu geführt werden, dass cp und f linear gebrochene Func- 

 tionen von X und y mit demselben Nenner sein müssen. Indem wir 

 diese Integration direct ausführen, ergiebt sich somit der oben an- 

 gekündigte zweite analytische Nachweis. 



In der That*), aus der ersten und letzten Gleichung (17) folgt: 



dx dx ' dy dy 



Es ist somit : 



(18) ip^ = Y(p^, 4>y = Xcpy, 



wo X und Y Functionen von x bez. y allein bedeuten. Setzen wir 

 diese Werte in die beiden mittleren Gleichungen (17) ein, so kommt: 



(19) (X - Y)(p,,<p, - 2 r<pj= 0, (X - Y)<p,,g^, + 2Z>/= 0. 



Wenn wir ferner auf (18) die Integrabilitätsbedingung : ip^y = fy^ an- 

 wenden, so ergiebt sich: 



(20) (X - Y)g>,y - r<p, + T<py = 0. 



Wir differenzieren nun die erste Gleichung (19) partiell nach x. Dies 

 liefert : 



X'cp^^cpy -f (X — Y)(<p^^^(py + (p^:cq>xy) — 4 rV<3Pa:r = 



oder, wenn wir darin die aus (19) und (20) folgenden Werte der 

 zweiten Differentialquotienten von (p einsetzen: 



*) Die directe Integration der Gleichungen (17) ist vielleicht zuerst von 

 Scheffers geleistet worden. Die linken Seiten von (17), dividiert durch 

 '^x'^y — 'Py'^x^ ^^^^ Bifferentialinvarianten der allgemeinen projectiven Gruppe. 

 Lie benutzte sie im Jahre 1883 zur Integration aller auf die Form y" = 

 reducibeln Gleichungen (Archiv for Math., „Classification u. Integration u. s. w." III.). 

 Lie hat überhaupt früher als die Herren Liouville und Appell Differential- 

 invarianten nicht linearer Gleichungen eingeführt und hat überdies eine allgemeine 

 Theorie derselben begründet. (Vgl. § 4 des 9. Kap.) 



