Andere Definitionen der projectiven Transformationen. 35 



Hieraus und aus der ersten Gleichung (19) schliessen wir: 



^xxx 3 ^xx 



'fxx 



Integrieren wir diese Gleichung, so folgt: Es ist -^ eine Function 



^x 

 qp 



von y allein, also auch — ^, sodass das Integral hiervon, nämlich 



— T-, linear in x ist und demnach g?^; die Form hat: 



1 



in der a, ß Functionen von y allein sind, sodass cp die Form 

 — —i—a + y(y) oder w = ^ r— 3 



hat, in der (>, a, a, ß Functionen von y allein sind, q) ist demnach 

 linear gebrochen in x. Ganz analog folgt, dass q) auch in y linear 

 gebrochen ist, sodass es diese Form hat: 



^ d^xy + a,x + b^y + c^ ^ 

 ^ dgaj^/ 4- «3«= + hy + C3 

 Hier bedeuten die a, . . d^ Constanten. Ähnliches ergiebt sich für 1/;, 

 und zwar hat 1^ nach (18) denselben Nenner wie cp. Daher: 



^ djXy + g^a; + ft^y + c^ 



Die erste und letzte Gleichung (17) werden durch diese Annahme 

 erfüllt. Wenn wir dagegen diese Werte in die beiden mittleren 

 Gleichungen (17) einführen, so folgt sofort, dass <?i = dfg = ^3 = 

 sein muss. Mithin haben qp und ip, wie zu beweisen war, die Form : 

 ^^ Ol a; + &i y + Ci . __^ «2^; + b^y + c^ 

 ^ a^x + &s2/ + C3 ' «3^5 + &32/ + Cj 



Dass vermöge einer projectiven Transformation ^-^ = eine 

 Folge von y-| = ist, können wir auch so aussprechen : Die Trans- 

 formation führt die Differentialgleichung zweiter Ordnung y"= in 

 sich über, oder auch: Sie lässt y" = invariant. Schliesslich können 

 wir auch sagen: «/"= gestattet diese Transformation. 



So hat sich ergeben : 



Satz 12 : Man Tcann die projectiven Transformationen als die all- 

 gemeinsten PunJcttransformationen der Ebene {x, y) definieren, welche die 

 Differentialgleichung y" == invariant lassen. 



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