36 Kapitel 2, § 3. 



f. project. j]g \[Qcri nun nahe zu vermuten , und wir wollen es direct nach- 



ransform. ,--' ^ ' 



fi'f;^"'^*'^ weisen, dass auch die infinitesimalen projectiven Transformationen die 

 allgemeinsten infinitesimalen Pnnkttransform.ationen der (a;^)- Ebene 

 sind, welche die Gleichung y" = invariant lassen. 

 Bei der, infinitesimalen Transformation 

 C//"= li? + tjg 

 ist bis auf unendlich kleine Grössen höherer Ordnung: 

 8x = l8t, 8y = ri8t. 



Ferner ist das Increment von y' : 



„ , s^dy 8dy • dx — dy • Sdx 



^ dx dx^ 



Die Zeichen d und d können mit einander vertauscht werden, sodass 



kommt : 



i> / dSy • dx -r- dy ' dSx dSy , d8x (dri 'd^\^, 



/ ^y = - — dx^- — --di-'^ -d^-\dx-ydil^^^ 



also im vorliegenden Falle, da die Differentiationen nach x hierin 

 totale sind : 



= Iv^ + {% — lx)y'— lyV^St. 



Endlich ist analog : 



^ „ dSy' ,, dSx 



y dx ^ dx ^ 



d. h. ausgerechnet: 



8y" = [ri^x -{- {2ria>y — lxx)y' + {nyy — ^lxy)y'^—lyyy'^ + 



J^{rly-2l,-Hyy')y"^8t. 



, Unsere infinitesimale Punkttransformation lässt die Gleichung ?/"== 

 dann und nur dann invariant, wenn 8y"= ist, sobald y"= gesetzt 

 wird, wenn also eine Gleichung von der Form 



^y"= Qy"8t 

 besteht, d. h. wenn die vier folgenden Bedingungen erfüllt sind: 



"^xx = ^> '^'Hxy ixx'= ^} Vyy ^?ixy = ^} iyy = '-'• 



Die erste und letzte lehren, dass 



ist, wobei X, X^ nur x und Y, Yq nur y enthalten. Die beiden 

 mittleren Bedingungen geben integriert: 



ny — 21^ = Xi {x) , ^^ — 27]y=Yi (y), 

 sodass 



