Andere Definitionen der projectiven Transformationen. 37 



wird. Vergleichen wir dies mit den vorhergehenden Ausdrücken für 

 I und fj, so folgt: 



In der ersten Gleichung kommt y links linear und rechts nur in Fi 



vor. Also kann man 



r, = — 3cy — M 



und analog 



X^= — Sax~Sh 



setzen, a, h, c, d sind hierin Constanten. Nunmehr hat y in der 

 ersten der beiden vorstehenden Bedingungen den Coefficienten 3X', 

 rechts 3 c. Also ist X' = c und analog T = a, sodass 



X = cx -{■ y, X = ay -\- a 

 folgt. Jetzt liefern unsere Forderungen noch: 



Xo' = 2ax + 2& + d, To' = 2cy + 2d + h, 

 also 



Xo = ax^ + (2& + f^)^ + ^, 3^0 = c^' + (2^ + ^)U + ö^. 

 Wir haben demnach zu setzen: 



l^{cx+ v)y-\- ax^ + (2& + d)x + /3, 

 »2 = (a^ + a)a; + cy'^ + (2f/ + h)y + ^. 

 Bezeichnen wir die Constanten anders, so finden wir Uf in der be- 

 kannten Form : 



Uf={a-\-cx-\- dy + hx^ + hxy)p -\- (h -\- ex -\- gy -\- hxy + Jci/)q. 

 Hiermit ist denn wirklich dargethan, dass die infinitesimalen projectiven 

 Transformationen die allgemeinsten infinitesim.alen PunMransformationen 

 der Ebene (x, y) sind, welche die Gleichung y" = invariant lassen. 



.'Dieses Ergebnis giebt uns Gelegenheit zu einigen Bemerkungen, 

 die später verwertet werden sollen: 

 vSind zunächst 



üj= |,i) + niQ, u^f= I2P + n^Q. 



irgend zwei infinitesimale Transformationen, so kann man den Ausdruck 



U,iU,f) - Ü,{UJ) 

 bilden. Es ist ja: 



Rechnet man diese Werte aus und subtrahiert sie von einander, so 

 fallen die zweiten Differentialquotienten von f sämtlich heraus, und es 

 kommt : 



