38 Kapitel 2, § 3. 



\uduj)- u,m)^{i, II + ,, II - feil - ,,||)p + 



(21) 



oder auch, da z. B 



^1 dx + ^1 aJ — ^1^2 



ist: 



(21') u,{u,f) - u,(uj) = {u,i, - u,i,)p + {u,n, - u,ri,)^. 



Dieser Ausdruck ist also wieder das Symbol einer gewissen infini- 

 tesimalen Transformation. Wir nennen ihn den mit U^f und TJ^f 

 ■ gebildeten Klammerausdruck und seine Bildung die Klammeroperation. 

 Abkürzend bezeichnen wir diesen Ausdruck mit ( ?7i C^). Er wird in 

 unseren späteren Betrachtungen eine äusserst wichtige Rolle spielen. 

 yEiS ist nun leicht nachzuweisen, dass, wenn ü^f und ü^f infini- 

 tesimale projective Transformationen sind, auch (JJ^ U^) eine solche 

 Transformation darstellt. In der That, es bestehen nach dem Voran- 

 gehenden Relationen von der Form: 



, . Ü2(y'l = 92y", 



also ist 



Udü,iyl) = {U,Q,-\-Q,Q,)y\ 



UATJ,{y")) = {U,Q,-\-Q,Q,)y" 

 und infolgedessen: 



TJAU,{y')) - UAU,{y")) = {U,q, - ü,Q,)y"; 



diese Gleichung aber zeigt, dass die infinitesimale Transformation: 

 UiiU^if)) — U^iüiif)) die Gleichung y"= invariant lässt, und dass 

 sie somit projectiv ist. 



Dies Ergebnis können wir aber auch direct ableiten. Sind nämlich 

 Ulf und Uzf allgemeine infinitesimale projective Transformationen, ist 

 also etwa (vgl. § 2) : 



UJ= ^ip -f rj^q = K + c^x -f d^y + h,x^ + \xy)p + 



+ (&i + e^x + g,y + \xy-\- \y'-)q, 

 UJ= iap + %q = («2 + c^x + d^y + h^x^ + h^y)p + 

 + (&2 + e^x + g2y-{-K^y+ hy^)q, 

 so sind ZJilg, C^ali» ?^i'?2 und J^gi/i sämtlich cubische Functionen von 

 X und «/. Doch ist U^^^— f^ali quadratisch und frei von y^, während 

 x^ darin den Coefficienten 



und ^1/ den Coefficienten 



