Andere Definitionen der projectiven Transformationen. 39 



besitzt. Eben diese Coefficienten haben xij und y^ in üi% — U^Vi, 

 das quadratisch und von x^ frei ist. Nach (21') sind also in 



{u,ü,) = ^P + nq 



I und 71 quadratische Functionen von x, y, deren erste frei von y^, 

 deren zweite frei von x^ ist, während x^ in der ersten denselben Coeffi- 

 cienten wie xy in der zweiten und xy in der ersten denselben Coeffi- 

 cienten wie y^ in der zweiten besitzt. Es hat also ( Ui ü^) wieder 

 die Form einer infinitesimalen projectiven Transformation. 



Satz 13 : Der Klammerausdrucl aus zwei infinitesimalen projectiven 

 Transformationen ist wieder eine infinitesimale projective Transformation. 



/Wir hätten dies auch so beweisen können: Jede infinitesimale 

 projective Transformation setzt sich linear mit constanten Coefficienten 

 zusammen aus : 



UJ = p, W=q, U,f=xp, UJ=yp, UJ=xq, 

 Uef=yq, U^f=x^p + xyq, UJ=xyp-\-y\. 

 Sind also Vf und Vf solche, so ist etwa : 



Vf= a,UJ-\ h a,ÜJ= Etti üif, 



Vf = hu,f+-- + hüj = i:h Uif. 



Dann sieht man ohne Mühe nach (21') ein, dass 



(jjv) = i:2:aih{Uim) 



ist, dabei die Doppelsumme über i und Ti von 1 bis 8 erstreckt. Bilden 

 wir aber die Klammerausdrücke {UiUk) der obigen acht speciellen in- 

 finitesimalen Transformationen, so ersehen wir, dass sie alle wieder 

 projectiv sind, mithin auch (Ü7F). 

 So ist z. B. : 



{JJ,U,) = xyp-^fq=U,f 



iU,ü,) = yq -xp = UJ- ü,f 

 u. s. w. 



Da die (UiUi) wieder infinitesimale projective Transformationen 

 sind, so setzen sie sich linear mit constanten Coefficienten aus Uif- • ■ U^f 

 zusammen, etwa in der Form : 



8 



1 



(t, i- = 1, 2 . . 8). 



Dies Ergebnis werden wir späterhin erst seiner vollen Bedeutung 

 nach würdigen können. 



