^ Kapitel 2, §§ 3, 4. 



Noch bemerken wi*, dass wir künftig sagen, Vfsei aus UJ] Kf- • U f 

 hnear abgeleitet, wenn Vf sich so darstellen lässt: 



F/-=a, C/;/'+ a,U,f+ • • + «,£/;/•, 

 wo «1, «2 . . «^ Constanten sind. Wir sagen ferner, F/'sei von U f U f 

 una-bhängig, wenn es keine solche Darstellung giebt (vgl. § 2)! Dem- 

 nach smd ü,/-.. ü;^^on einander unabhängig zu nennen, wenn keine 

 derselben hnear aus den übrigen ableitbar ist. wenn also keine Relation 

 von der Form 



«1 U,f+ a,U,f-\ f- ar Urf= 



mit nicht sämtlich verschwindenden constanten Coefficienten a, a ■ ■ a 

 , existiert. *' ^ ' 



§ 4. Die eingliedrigen projeotiven Gruppen. 

 Zum Sehluss des § 2 warfen wir die Frage auf, oh dk eingliedrige 

 Gmppe, dte von aner infimtesimalen projeetiven Transformation erJLt 

 ■i»g.»>,„. 'w "'" '""''^ Wojeetiven Tramformationen lesteht. 

 Äi .'.'.■ „,J"i '^«'i™''"^«« Frage nunmehr in bejahendem Sinne auf zwei 

 SSrjr ? "'" ^'«'" beantworten: Der eine, weun auch weniger 

 »..!,.„. elementare, so doch auch keine Rechnungen erfordernde,- »eht von 

 den Ergebnissen des vorigen Paragraphen aus und benutzt einen 

 übrigens ziemlich selbstverständlichen Satz aus der Theorie der Diife- 

 rentialgleichungen. Der andere Weg ist derjenige, welcher sich natur- 

 gemäss darbietet und keinerlei fremde Sätze benutzt. Allerdinas ver- 



rrllllL'."""''''^'^''''"'^™"«^"' "'^ ''''''' auf mehrere wichtige 

 Sr/i.. um Aen^^ Weg einzuschlagen, benutzen wir den Satz, dass 



wenn die Differentialgleichung ,"=0 die infinitesimale Transfor- 

 mation £/f zulasst, sie auch jede durch continuierliche Wiederholung 

 von Vf erzeugte endliche Transformation gestattet. Den analytischen 

 ^ndZ SeV^^""""' -'bstverständlichen Satzes findet Ln an 



Nun sei f/- eine infinitesimale iirojerfw« Transformation. Sie lässt 

 wie wir wissen, j,"=0 invariant. Demnach lässt auch jede endliche 

 Transformation der von If;^ erzeugten eingliedrigen Gruppe diese Diffe- 

 rentialgleichung invariant. Nach Satz 12 des vorigen Paragraphen ist 

 sie folglich projectiv, was zu beweisen war. = P 'st 



Swel um nun den meiten, von fremden Hülfsmitteln freien Beweis zu 



^CDCD^ SBl 



*) „Diffgln. m. inf. Trf.", Kap. 16, § 3. 



