Die eingliedrigen projectiven Gruppen. 45 



Durch den Nachweis der Möglichkeit der Bestimmung unserer neun 

 Functionen «,-, h,-, Ci als Functionen von t in der Art, wie es in (26) 

 verlangt wurde, ist nun dargethan, dass in der That die endliehen 

 Gleichungen, die durch Integration des Systems (24) hervorgehen, die 

 Form (25) einer projectiven Transformation haben, mit anderen Worten : 



Theorem 3: Die von einer infinitesifnalen projectiven Trans- 

 formation der Ebene erzeugte eingliedrige Gruppe besteht aus 

 lauter projectiven Transformationen. 



Es erhebt sich nun noch eine Frage : Da es gerade oo'' infini- 

 tesimale projective Transformationen giebt, so existieren also auch 

 gerade oo'' eingliedrige projective Gruppen von je oo^ endlichen pro- 

 jectiven Transformationen, sodass wir so im ganzen alle oo^ projec- 

 tiven Transformationen erhalten würden, wenn nur noch feststünde, 

 dass eine beliebige dieser von infinitesimalen projectiven Transfor- 

 mationen erzeugten endlichen Transformationen im allgemeinen nur 

 einer oder einer discreten Anzahl solcher eingliedriger Gruppen an- 

 gehören kann. Wir entscheiden diese Frage sofort, indem wir um- 

 gekehrt erkennen, dass jede endliche projective Transformation (25) 

 von einer infinitesimalen Transformation erzeugt wird. Denn die 

 Gleichungen (27) bestimmen, wie wir sahen, die a,:, &;, d als von 

 einander unabhängige Functionen von at^ • • - It etwa in der Form: 



«j = Qifpi{at, • • • Jit), 



bi = Qii^iiat, ■ • • Jct)j (j=i, 2, 3). 



Ci = Qi%i{at, - • -Jet). 



Hierin bezeichnet Qi den It enthaltenden Factor. Denken wir uns nun 

 die endliche projective Transformation (25) gegeben, verstehen wir 

 also unter den «j, bi, d Grössen, deren Verhältnisse uns als Zahlen 

 gegeben sind, so werden die vorstehenden Gleichungen die at • - -ht 

 als Functionen der Verhältnisse der «j, bi, Ci ergeben, denn diese Ver- 

 hältnisse sind, wie wir sahen, von einander unabhängige Functionen 

 von at ■ ' • Jet, so lange die obige Determinante oder also ^ nicht 

 Null ist. Wäre zJ = 0, so würden bekanntlich die gegebenen Glei- 

 chungen (25) gar keine Transformation darstellen. 



Wir sagen daher: 



Satz 14 : Jede endliche projective Transformation gehört mindestens ,^'^'^° ^^°l-^ 

 einer eingliedrigen projectiven Gruppe an. ^"J- p'oject. 



Fassen wir alles zusammen, so können wir uns so ausdrücken: 



Theorem 4 : Die cx)'^ infinitesimalen projectiven Transfor- 

 mationen der Ebene erzeugen die achtgliedrige Gruppe aller 



