Invarianz eines Punktes und einer durch ihn gehenden Geraden. 47 



«1 == e' , «2 = 0, «3 = — t^ , 



\=0, &2=6<, &3 = — te^ , 



c^ =0, C2 =0, Cg =e% 

 sodass (25) ergiebt: 



(25') X = ^ 11 — y 



Kapitel 3. 

 Die eingliedrigen projectiven Gruppen und ihre Bahncurven. 



Nachdem wir zunächst werden gezeigt haben, dass jede projeetive 

 Transformation der Ebene, mithin auch jede infinitesimale projeetive 

 Transformation und ebenfalls ihre eingliedrige Gruppe wenigstens einen 

 Punkt und eine durch denselben gehende Gerade invariant lässt, be- 

 nutzen wir eine möglichst bequeme Verlegung des Coordiuatensystems 

 zu den invarianten Gebilden und erreichen dadurch die Zurückführung 

 aller infinitesimaler projectiver Transformationen auf fünf typische 

 Formen. Alsdann sollen die Bahncurven der eingliedrigen projectiven 

 Gruppen untersucht werden. 



§ 1. Invarianz eines Punktes und einer durch ihn gehenden Geraden. 



Vorgelegt sei eine projeetive Transformation : 

 (1) X _ «i^ +Ky + c, _a., x + 6,y + c. 



Wir fragen uns, ob es einen Funkt (x, y) giebt, der bei ihr invariant 

 bleibt, dessen Coordinaten also die Gleichungen erfüllen: 



X = "1^ + ^1^ + Ci ^ a ^x +\ y + c, 



:'3a; + hy + C3' ^ a^x + \y -f C3 ' 

 Diese Gleichungen lassen sich, wenn der Nenner mit q bezeichnet 

 wird, durch die drei Gleichungen ersetzen: 



QX=^a^x-)r\y -{- c^, 



Qy ^a^x + b^y -{-C2, 



Q = a^x-i- h^y + C3 

 oder 



(öl — q)x -\- hj^y -{- c, = , 



(2) f^2^ + (h — Q)y-{-c, = o, 



«3^ + &3«/ + (C3 — ()) = 0, 



deren Determinante lautet: 



