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Kapitel 3, § 1. 



(3) 



J{q) = 



h 





3 ^3 H Q 



Zum Bestehen der Gleichungen (2), die ja als drei in x, y, 1 

 lineare Gleichungen aufgefasst werden können, ist notwendig, dass 

 ^io) = sei. Demnach ist q als Wurzel der cubischen Gleichung 

 ^ (())== auszuwählen. Sicher besitzt diese Gleichung mindestens 

 eine endliche Wurzel q, da q^ in ihr einen nicht verschwindenden 

 Coefficienten hat. Indem wir alsdann diese Wurzel q in (2) eintragen, 

 reducieren sich letztere Gleichungen bekanntlich auf höchstens zwei, 

 da eine derselben eine blosse Folge der beiden anderen wird, etwa 

 auf diese beiden Gleichungen : 



Xx -\- ^y +v =0, 

 Xx + fi'^ + v' = . 

 Invarianter Ist die Determinante Au' — A'u nicht Null, so stellen sie zwei sich 



Punkt im , . 



Endlichen, schneidsnde Geraden dar. Ihr Schnittpunkt ist ein invarianter Punkt. 

 Ist dagegen diese zweireihige Determinante gleich Null, so haben 

 nunmehr die linken Seiten von (2) die Formen: 



(«1 — q)x + \y + Cj = a{lx + ^ly) + c^ , 

 a^x + (ö^ — Q)y -\-c^ = ß{lx-\r ^y) + c^ , 



a^x + h^y + (Cg —q)== y{^x + ^ly) + c^ — q, 

 sodass 



a^ = Q -\- aX , \== a^ , 



wird und die vorgelegte projective Transformation (1) also lautet: 



(!') X, = 



{q 4- aX)x 4- a^y + Cj 



2/i = 



ßix + (g + ß(^)y + c. 



Wenn nun zunächst A und |[t nicht beide Null sind, so stellt 



Xx -\- ^y = Const. 

 eine Schar von parallelen Geraden dar. Wir behaupten, dass die 

 Transformation (1') jede Gerade dieser Schar wieder in eine solche 

 überführt. In der That wird ja: 



{q -{- uX-\- ß[i){lx + fiy) + Xci + iic^ 



Ix^ + ft</i = 



d. h. wenn 

 ist, so ist auch 



y(ia; + jiiy) + c^ 

 Kx -\- \iy = Const. 

 Aa^i -}- fi^/i = Const., 



