Invarianz eines Punktes und einer durch ihn gehenden Geraden. 49 



was zu beweisen war. In diesem Falle also geht jede Gerade dieses 

 Parallelenbüschels wieder in eine Gerade desselben über. Nun kann 

 man ein Parallelenbüschel auffassen als das Büschel aller Strahlen, die 

 durch einen über jede Grenze fernen Punkt hindurchgehen. Wenn die 

 Geraden durch diesen Punkt unter einander vertauscht werden, so muss 

 natürlich der Punkt selber invariant sein. Im vorliegenden Falle lässt 

 daher die projective Transformation ein Parallelenbüschel, d. h. einen jemef iu- 

 imendlich fernen Funkt invariant. . ""punkt" 



Sei jetzt sowohl A als ^ gleich Null, so lautet die projective 

 Transformation (1') so : 



QX -\- Ci QX -\- c^ 



d. h. sie hat die Form : 



^1 = mx -\- n, yi=py + q. 

 Hier ist die Parallelenschar x = Const. invariant, ebenso die Parallelen- 

 schar y == Const. Wir erhalten demnach im vorliegenden Falle sofort 

 sogar zwei unendlich ferne invariante PunJcte. 



Wir haben also gefunden: 



Satz 1: Jede projective Transformation der Ebene lässt mindestens 

 einen Punkt in Buhe. 



Wir wollen nun beweisen, dass auch durch einen invarianten ^"T*"*"*^ 

 Punkt stets eine invariante Gerade hindurchgeht. Dabei werden wir .'^'"^^J; "^^^ 



^ mv. Punkt. 



von der leicht zu verificierenden Thatsache Gebrauch machen, dass 



eine Gleichung von der Form 



mu -i- n 



u = 



pu -f- q ' 



sobald sie nicht durch ein endliches u befriedigt werden kann, dadurch, 



einführt 



p -\- qv 

 V — - — — = — 

 m -{- nv' 



in der sie durch v = erfüllt wird. 



Betrachten wir zunächst eine projective Transformation, die einen 

 im Endlichen gelegenen Punkt (Xq, y^) invariant lässt und den all- 

 gemein angenommenen Punkt (x, y) in den Punkt (x^, y^) überführt. 

 Bekanntlich sind dann x^, y^ linear gebrochene Functionen von x, y 

 mit gleichen Nennern. Dasselbe gilt auch von den um die Constante x^ 

 resp. y^ verminderten Veränderlichen Xy, y^. Da sich diese Differenzen 

 für rCi = Xq, 2/i = Vo ^^^ Null reducieren, so muss dasselbe für diese 

 gebrochenen linearen Functionen gelten, sobald darin x = x^, y = y^ 

 gesetzt wird. Demnach bestellen Gleichungen von der Form : 



Lie, Contimiierliche Gruppen. 4 



dass man — = v als Unbekannte einführt, auf eine Form gebracht wird : 



