50 Kapitel 3, § 1. 



^0 „ r^_^oi/3 A/_^/^_l_,, ' ^1 2^0 



«3(0;— aJ + ßsO/— 2/o) + y3' -^^ ^"^ «8(« — a;o) + ^3(2/-?/o) + y3 



Hiernach ist: 



+ ßs 



2/ — yo 



2/1 — 2/0 ^ — «, 



^1 - ^0 ^^ _|_ p^ Llo 



Setzen wir hierin x und «/ statt x-^ und «/i, so haben wir eine Gleichung 

 von der oben bemerkten Form vor uns. Daraus schliessen wir: Es 



giebt entweder einen endlichen Wert ^ __ ^" = li, der bei der Trans- 

 formation ungeändert bleibt, oder aber es bleibt - _ " = ungeändert. 

 Im ersteren Falle geht die Gerade 



im letzteren die Gerade 



X — Xq = 



in sich über, d. h. es existiert jedenfalls eine durch den invarianten 

 Punkt (Xqj y^ gehende invariante Gerade. 



Nunmehr wenden wir uns zu einer projectiven Transformation, die 

 einen unendlich fernen Punkt invariant lässt, d. h. also die Strahlen 

 eines Parallelenbüschels 



Xx -\- ^y = Const. 



unter einander vertauscht. Es ist Ix^ -\- (ly^ eine linear gebrochene 

 Function von x, y und zwar eine solche, die sich iür kx -\- fiy = Const. 

 ebenfalls auf eine Constante reducieren muss. Es ist mithin lx^-\- ^y^ 

 eine linear gebrochene Function von Xx -\- fiy: 



AX, i-ft^/i — _p^^^_|_j,^)^^- 



Im allgemeinen existiert nun für die Gleichung 



XX -^(ly- p^^^^^y^^^ 



ein endlicher Wert Ic von Xx -\- ^y, der sie befriedigt. Alsdann ist 



Xx -\- fiy = 1c 



eine Gerade, die durch die Transformation in sich übergeführt wird. 



Ein solcher Wert existiert nur dann nicht, wenn ^ = und 



q = m, also 



Xxj^ -\- fiy^ = Xx -\- y,y -{- r 



ist. a?! und «/^ können dann offenbar nicht linear gebrochene Func- 

 tionen von x und y mit variäbeln Nennern sein, sie haben vielmehr 

 die einfache Form : 



J 



