Invarianz eines Punktes und einer durch ihn gehenden Geraden. 51 



Hiernach ist, wenn irgend eine lineare Function Ix -f- '^ny von x, y gleich 

 Const. gesetzt wird, auch eine gewisse lineare Function l'x^^ -\- my^ von 

 x^ und i/i gleich Const., d. h. bei der vorliegenden Transformation wird 

 jede Parallelenschar 



Ix -\- my = Const. 



wieder in eine Farallelenschar 



l'x^ + m'«/i = Const. 



übergeführt. Da eine Parallelenschar aufgefasst werden kann als die 

 Schar aller Geraden durch einen unendlich fernen Punkt, so können 

 wir auch sagen : Es wird jeder unendlich ferne Punkt wieder in einen 

 unendlich fernen Punkt übergeführt, d. h. der Ort aller unendlich ferner 

 Punkte, die sogenannte unendlich ferne Gerade bleibt invariant. Es ist 

 dies aber eine Gerade durch den unendlich fernen invarianten Punkt, 

 den das ursprüngKche Parallelenbüschel Xx -}- (ly = Const. bestimmt. 



Satz 2 : Bleibt bei einer projectiven Transformation der Ebene ein 

 PunJct invariant, so giebt es auch eine durch diesen PunJd gehende in- 

 variante Gerade. 



Angenommen, eine projective Transformation lasse eine Gerade g 

 invariant. Nach Satz 2 lässt sie einen Punkt P und eine durch ihn 

 gehende Gerade g' in Ruhe, g' schneidet g sicher in einem Punkte P', 

 der dann auch invariant ist, oder sie geht g parallel. Letzterenfalls 

 können wir sagen, dass der unendlich ferne Pnnkt von g in Ruhe 

 bleibt, denn wenn 



ax -\- by -\- c = 0, ax ~\- by -\- c == 



die Gleichungen von g und g' sind, so ist bei der Transformation 

 ax^ -hiyi+c = (ax-\-by+c)-^, 



ax^ + by^ + c'= {ax -\- by -\- c) ■ -^, 



unter N einen linearen Ausdruck in x, y verstanden. Subtraction 

 lehrt, dass N eine Function von ax -\- by ist und also auch ax^ + by^ 

 eine Function von ax -\- by allein sein muss. Die Parallelenschar 

 ax-^ -\- by^ = Const., welche den unendlich fernen Punkt von g definiert, 

 wird daher in sich transformiert. Auf g existiert demnach sicher ein 

 invarianter Punkt. Also : 



Satz 3 : Bleibt bei einer projectiven Transformation der Ebene eine 

 Gerade invariant, so giebt es auch einen auf dieser Geraden liegenden 

 invarianten Punkt. 



Insbesondere ergiebt sich aus Satz 1 und 2: 



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