52 Kapitel 3, §§ 1, 2. 



Satz 4 : Jede projective Transformation der Ebene lässt mindestens 

 einen Punlct und eine durch ihn gehende Gerade invariant. 



Es liegt nun nahe, zu vermuten, und der Leser kann es leicht 

 direct beweisen, dass Satz 4 auch für infinitesimale projective Trans- 

 formationen besteht. Es ist andrerseits so zu sagen begrifflich klar, 

 dass, wenn eine infinitesimale Transformation Uf irgend ein Gebilde 

 in sich transformiert, dasselbe auch von jeder endlichen Transformation 

 der durch Wiederholung von Uf erzeugten eingliedrigen Gruppe gilt*). 

 Demnach ergiebt sich : 

 pulkt^und Theorem 5: Jede eingliedrige projective Gruppe der Ebene 

 (ieraden- lässt mindcstcns einen Punkt und eine durch ihn gehende Gerade 



gebude. ^ 



invariant; durch jeden invarianten Punlct geht eine invariante 

 Gerade und auf jeder invarianten Geraden liegt ein invarianter 

 PunJct. 



Bei der soeben gegebenen Begründung mag allerdings die Invarianz im- 

 endlich ferner Punkte Bedenken erregen. Aber wir verfahren für diesen Fall 

 einfach so : Lässt die infinitesimale projective Transformation Uf^^p -\- riQ 

 den unendlich fernen Punkt des Parallelenbüschels 



Ix -\- }iy = Const. 

 in Riihe, so ist X^ -\- (ivj eine Function von Xx -\- (ly allein: 



X^ -\- (ifj EZ'. Sl{Xx + ^y). 



Die endlichen Gleichungen der eingliedrigen Gruppe Uf ergeben sich nun 

 bekanntlich durch Integration des simultanen Systems 



dx, __ dy, _^^_ 



Es kommt hiernach: 



d{Xxi + iiy^) = (X'^ixi, y^) + Mi^i^^i))dt 

 oder : 



d(Xx^ -f- ju,2/i) = Sl(Xx^ -(- ^y-^dt, 



d. h. Xx^ -\- jLi«/i wird eine Function von t und dem Anfangswerte Xx -\- ^ly 

 und ist daher in der That auch gleich Constans, sobald Xx -{- (ly = Const. 

 gesetzt wird. 



§ 2. Gleichberechtigte eingliedrige projective Gruppen. 



Um mit Hülfe des Theorems 5 zu einer Classification der in- 

 finitesimalen projectiven Transformationen oder ihrer eingliedrigen 

 Gruppen zu gelangen, müssen wir zunächst eine neue Betrachtung 

 einführen : 



•=) Ein strenger Nachweis findet sich in den „Diffgln. m. inf. Trf.", Kap. 4. 



