andere. 



Gleichberechtigte eingliedrige projective Gruppen. 53 



Denken wir uns, Sa, S^ - • • seien die projectiven Transformationen 

 einer eingliedrigen Gruppe, es sei also jede Aufeinanderfolge Sa, So 

 wieder eine Transformation S^ab) dieser Gruppe. Es seien: 



(4) x^ = (p{x,tj,a), y, = iij{x,y,d) 



die Gleichungen von Ä„. Nun möge T irgend eine projective Trans- 

 formation sein, bei der wir die ursprünglichen Veränderlichen mit 

 X, y, die neuen mit x , y' bezeichnen wollen : 



(5) x'=k{x,y), y'=ii{x,y). 



Wir sagen nun, tvir führen die Transformation T auf Sa aus, wenn wir;V^^^'l^;^^8 

 in den Gleichungen (4) von Sa auf beiden Seiten vermöge T neue Ver- ^ZTS^^ 

 änderliche einführen, wenn wir also gleichzeitig die Gleichungen (5) und: 



(6) x^ = k(x, , y,) , y^ = ^ {x, , y^) 

 ansetzen und mit Hülfe derselben x, y und x^, y^ aus (4) eliminieren. 

 Dadurch entsteht eine gewisse neue Transformation S von x' , y in 

 x^j y^. Sind: 



(7) x = ~l{x\y'), y = ä{x',y') 



die Auflösungen von (4) nach x, y', so erhält man die Gleichungen 

 der neuen Transformation, indem man nacheinander ansetzt : 



x = l.{x',y'), y=='ii{x',y')] 



(8) x^ = (p{x,y,a), ij^ = t{x,y, a); 

 . x,'= k(x^, y^), y^'= -ftC^i, i/i). 



Hierin stellen die beiden ersten Gleichungen die zu T inverse Trans- 

 formation T~^ dar, die beiden folgenden Sa und die beiden letzten T, 

 jedesmal ausgeführt auf das vorher erhaltene Veränderlichenpaar. Die 

 neue Transformation S ist daher der Aufein- 

 anderfolge T-^SaT äquivalent: 



S=T-'SaT. 

 (Vgl. Fig. 7.) 



Nun ist T wie S eine projective Trans- 

 formation, desgleichen die inverse T~^, also 

 auch T-^ST. Also haben wir: 



Satz 5 : Fülirt man die Transformation T 

 auf die Transformation S aus, so ergiebt sich die Transformation T-^ST; 

 und 



Satz 6 : Eine projective Transformation S geht durch Einführung 

 neuer Variahein vermöge einer projectiven Transformation T über in die 

 projective Transformation T~^ST. 



