54 Kapitel 3, § 2. 



Äner tS So gehen Sa, S, " ■ durch Ausführung von T über in 



formation * //t-i O rp m_i a T 



auf eine J. Öa-l, -L Ob 1 , • ■ • j 



eingliedrige 



Gruppe, jjjjj (jjggg bii(jen ^ie die /Sa, 'S'4 • • eine eingliedrige Gruppe, denn es 

 ist die Aufeinanderfolge 



oder, da TT~^ die identische Transformation ist, gleich 

 T~'^SaSbT = T"^ S{flb)Tj 



also wieder von der Form T-^ST. Ist Sq die identische Transfor- 

 mation der eingliedrigen Gruppe Sa, Sb • - • , so ist 



T-'SqT=T-^T=S,. 



Wenn nun S die infinitesimale Transformation der eingliedrigen 

 Gruppe Sa, Sb • • ist, so ist T^^ST auch nur unendlich wenig von 

 Sq verschieden, d. h. die infinitesimale Transformation der neuen ein- 

 gliedrigen Gruppe. 



Satz 7: Durch Ausführung einer projediven Transformation auf 

 eine eingliedrige projecHve Gruppe geht diese wieder in eine eingliedrige 

 projedive Gruppe und ihre infinitesimale Transformation gerade in die 

 infinitesimale Transformation derselben über. 



Alle eingliedrigen projectiven Gruppen, die aus einer solchen 

 durch Ausführung projectiver Transformationen abgeleitet werden 

 berichtigte ^^°^^^' nennen wir mit der ursprünglichen (innerhalb der allgemeinen 

 "^f^^pen.'P^^J^^^'^^^ G-ruppe) gleichberechtigt. Dementsprechend heissen zwei infini- 

 tesimale projective Transformationen gleichberechtigt (innerhalb der 

 allgemeinen projectiven Gruppe), wenn die eine durch projective Trans- 

 formation in die andere übergeführt werden kann. 



Unmittelbar klar ist der 



Satz 8: Sind zwei eingliedrige projective Gruppen oder infinitesi- 

 male projective Transformationen mit einer dritten gleichberechtigt, so sind 

 sie auch mit einander gleichberechtigt. 



Hiernach zerfallen alle 00'' eingliedrigen projectiven Gruppen in 

 gewisse Scharen, deren jede lauter unter einander gleichberechtigte 

 enthält; kennt man eine Gruppe aus einer der Scharen, so erhält man 

 alle Gruppen derselben Schar, indem man auf jene eine alle 00* pro- 

 jectiven Transformationen der Ebene ausführt. Wir werden daher im 

 nächsten Paragraphen aus jeder dieser Scharen nur eine besonders ein- 

 fache eingliedrige Gruppe zu bestimmen suchen. Haben wir dies 

 gethan, so haben wir damit typische Formen für die eingliedrigen 

 projectiven Gruppen gefunden. Die Bedeutung dieser typischen Formen 

 tritt noch mehr durch folgende Bemerkung hervor: 



