Gleichberechtigte eingliedrige projective Gruppen. 55 



Die Ausführung einer projectiven Transformation T auf eine 

 andere solche, S, kann so aufgefasst werden, als ob der Transfor- 

 mation S ein neues recht- oder schiefwinkliges Coordinatensystem 

 untergelegt wird, nämlich dasjenige, in welches das ursprüngliche durch 

 Ausführung von T übergeht, wie die Gleichungen (8) deutlich zeigen. 

 Diese Auffassung zeigt, dass der geometrische Charakter von S und 

 T~^ST, so lange rein projective Beziehungen in Frage kommen, 

 genau der gleiche ist, dass also, wenn S ein gewisses Gebilde F aus ^'^g^^iid"**' 

 Punkten und Geraden invariant lässt, auch T~^ST ein hierzu pi^o- ^^^^^j^^^'^^^ 

 jectives Gebilde F in Ruhe lässt, nämlich dasjenige, welches aus F '^p^^"^- 

 durch Ausführung von T hervorgeht. In der That, wenn 



{F)S = {F) 

 und ^ 



iF)T^{F) 

 ist, so folgt: 



(F)7^^ST= (F)ST= (F)T=(F). 



Satz 9 : Lässt eine eingliedrige projective Gruppe ein gewisses Ge- 

 bilde F invariant, so lässt die durch Ausführung der projectiven Trans- 

 fortnation T hervorgehende Gruppe dasjenige Gebilde invariant, das durch 

 Ausführung von T auf F entsteht. 



Hierdurch rechtfertigt sich auch der Name „gleichberechtigte 

 Gruppe". 



Beispiel. Auf die infinitesimale projective Transformation Beispiel. 



TJf = p 

 führen wir die endliche projective Transformation 



1 ' y 



X ' ^ X 



aus. Uf hat die Gleichungen : 



Xi = x-i-dt, yi = y. 

 Setzen wir also 



1 ' y 



X ^ '^ X ^ 



^1 — ^ j y\ ^ > 



so kommt: 



!'''•= ^ = f (i - V )= j/' (1 - •'='*o = 2/' - ^y«, 



sodass 



