56 Kapitel 3, §§ 2, 3. 



dx = — x'-dt, dy = — x'y'dt 



ist, also das neue Uf die Form hat 



— x"^p — x'y'q, 



geschrieben in den Veränderlichen x , y. Kürzer findet man diese 

 mit _p gleichberechtigte infinitesimale Transformation durch directe 

 Einführung der neuen Variabein x, y in Uf. Es kommt: 



Uf= üx-p-{- Uy-q = -^.TJx ./+ (- |-, Ux + ~ Uy)(i 



1 , y , ,., , , , , 



^iner^Trans^ ^^^ ^^ dicscm Beispiel, so kann man auch allgemein, wenn es 

 ai!r^ne\°nf ^^^^ darum handelt, die aus üf durch Einführung neuer Variabein 

 ■^''*'J?^o'- vermöge T: 



(5) x = ?,{x,y), y = ^{x,y) 



entstehende infinitesimale Transformation zu finden, die neuen Vari- 

 abein in 



^1 —^ dx^^ dy 

 einführen, also setzen: 



TJf = J: (IL i^ _i_ _^ M\ _!_ ^ (IL Ifl j_ 1^ ^\ 

 ^' ^\dx' dx '^ dy dx/~^ '\dx' dy "^ By dyJ 



oder offenbar: 



Hierin müssen natürlich Ux und Uy vermöge (5) durch x', y an- 

 statt X, y ausgedrückt werden*). 



§ 3. Classification der eingliedrigen projectiven Gruppen der Ebene. 



Wir treten jetzt der schon angekündigten Aufgabe näher, aus 

 jeder Schar von unter einander gleichberechtigten eingliedrigen pro- 

 jectiven Gruppen eine möglichst einfache zu bestimmen. Dazu ver- 

 werten wir zunächst das Theorem 5 des § 1 sowie den Satz 9 des § 2. 

 Indem wir eine passende projective Transformation auf die infinitesi- 

 ^Tramw;^^^^ Transformation £//" unserer eingliedrigen Gruppe ausüben, können 

 "^«"ferne'" ^^^ hiernach immer erreichen, dass Uf gerade die unendlichferne 

 ^^Tfs^st!"''"^^^^^® in Ruhe lässt. Alsdann nimmt Uf eine solche Form an, in 

 der sie jede Parallelenschar 



_ Ix -\- my = Const. 



*) Wegen ausführlicherer Begründung verweisen wir auf die „DiflFgln. m. 

 inf. Trf.", Kap. 3, § 2. 



