Classification der eingliedrigen projectiven Gruppen der Ebene. 57 



wieder in einer Parallelenschar verwandelt. Eine Parallelenschar kann 

 nun auch durch die Differentialgleichung 



y == Const. 

 definiert werden, die ja oo^ Parallelen darstellt. Bei 

 ?7/"= (a + ra; + dy -f lix^ + 'kxy)$ + (^ + e^ + 5'^ + 'i^^V + '^y^)<l 

 müsste mithin das Increment, das y erfährt, gleich Const. sein, sobald 

 y = Const. wäre, d. h. es müsste von y allein abhängen. Dies Incre- 

 ment lässt sich nach § 3 des 2. Kap. leicht berechnen. Es kommt: 



-^^ = e + /<?/ + y{g + lix -{- 2Jcy — c — 2hx — 7cy) — y'\d + kx). 

 Dasselbe soll nur von y abhängen, sodass also : 



A = 0, h = 

 oder üf frei von den in x, y quadratischen Gliedern sein muss. 



Satz 10 : Die allgemeinste infinitesimale projective Transformation 

 der Eiene, welche die unendlich ferne Gerade in sich überführt, setzt sich 

 linear mit beliebigen constanten Coefficienten aus 



p, q, xp, yp, xq, yq 

 zusammen. 



Wir schalten hier eine Bemerkung ein : Die allgemeine endliche 

 projective Transformation 



verwandelt y in 



y '=z ^ll = («2 + hy')((^3^ + hy + C3) — («3 + bsy')(a^x + b^y + c,) ^ 

 -^1 dx, («1 -I- l)^y){a^x + \y + c.,) — («3 + \i/){a^x -{- h,y -\- e,) 



^ (a^b^ — a^\){xy — y) + (C3& , — c.,bs)y' -} - (c^a^ — c,a^) _ 

 (aj&i — a^h)](xy'- y) + (c^\ — e^b^)y' -\- {e^a^ — c^a^)' 



Sie lässt nur dann die unendlich ferne Gerade in Ruhe, wenn sie jede ^"^di. proj. 



' *' _ Transform., 



Differentialgleichung y = Const. einer Parallelenschar wieder in eine weiche die 



° ° ^ X ferne 



solche yi = Const. verwandelt, d. h. wenn y^ nur von y abhängt. tierade inv. 

 Es müssen also in dem obigen Ausdruck entweder im Zähler und 

 Nenner die Coefficienten von xy — y verschwinden oder, wenn dies 

 nicht der Fall ist, die drei Determinanten im Zähler denen im Nenner 

 proportional sein. Letzteres ist ausgeschlossen, da sonst die Deter- 

 minante /J unserer projectiven Transformation verschwinden würde. 

 Also folgt: 



Sicher ist dann a-J)^ — «2^1 =H ^y ^^ sonst z/ doch verschwände. 

 Folglich ist cfg == Jg = 0, d. h. unsere Transformation hat constanten 

 Nenner, ist also von der Form (indem C3 = 1 gesetzt werden kann): 



