58 Kapitel 3, § 3, 



^i^^i^ + hy + c^, ij, = a,x + h,y -^ c,. 

 ^1 und y^ sind hier lineare ganze Functionen von x, y. Man nennt 

 Trworm. ^^^^ solchc Transformation eine lineare. 



Satz 11 : Die allgemeinsten projectiven Transformationen der Ebene, 

 welche die unendlich ferne Gerade in sich überführen, sind die linearen 

 Transformationen. 



Nach dieser gelegentlichen Einschaltung kehren wir zu unserem 

 Problem zurück. 



jinsrTnfinu. ^ir haben oben üf auf die einfachere Form gebracht : 

 Tramtorm. üf = (a -{- cx -\- dy)p + (6 + cx -{- gy)q. 



Nach Theorem 5 des § 1 existiert nun auf der invarianten unendlich 

 fernen Geraden ein invarianter Punkt, etwa der des Parallelenbüschels 



^x -\- }iy = Const. 

 Indem wir eine lineare Transformation 



x = Xx-\-^y, y'= Qx -\- 6y 

 auf Uf ausüben, geht Uf in eine infinitesimale Transformation über, 

 die nach Satz 9 des § 2 wieder die unendlich ferne Gerade und 

 ausserdem den unendlich fernen Punkt der «/-Axe in Ruhe lässt. 

 dx hängt also jetzt nur noch von x ab, sodass üf die Form hat : 

 üfEE^ {a + cx)p J^ (h-\- ex+ gij)q. 

 Ist c 4= 0, so führen wir durch die lineare Transformation 

 x = a + ex, y'= y 

 neue Veränderliche ein, wodurch üf übergeht in 

 xp + (h'^e'x+g'y')g;. 



Wenn c =f= ist, so können wir also insbesondere hierdurch c = 1 

 und a = machen. 



Ist dagegen c = 0, so ist entweder a^Q und lässt sich dann 

 gleich 1 setzen, oder es ist gleich Null. 



Sonach erhalten wir drei Möglichkeiten für üf\ 

 I. xp + {h + ex -\- gy)q, 

 II. p^{h + ex-^ gy)q, 

 in. {h + ex -{• gy)q. 



Wir betrachten sie nacheinander: 



I. Ist hier ^ =f= und 4= 1, so führen wir durch die lineare 

 Transformation 



I 



