Classification der eingliedrigen projectiven Gruppen der Ebene. 61 



Wir haben zwar oben immer mehrere lineare Transformationen 

 T^, Tg • • "ach einander auf Uf oder S ausgeführt. Es ist aber die 

 Reihenfolge T^T^- ■ mehrerer linearer Transformationen offenbar wieder 

 eine lineare Transformation T und 



= T-^ST, 



sodass die Ausübung von T allein das auf einmal geleistet hätte, was 

 wir schrittweis fanden. 



Dass wir die acht infinitesimalen Transformationen in der obigen 

 Weise angeordnet haben, hat seinen Grund. 



Fragen wir uns nämlich nach den bei einer derselben invarianten ^. , . 



O Die bei 



Punkten und Geraden, etwa bei fnv'puukte 



, , u. Geraden 



xp + (^ -j- y)(i- 



Soll ein im Endlichen gelegener Punkt hierbei invariant sein, so inuss 



für ihn 



X == 0, X -\- y = 



sein, d. h. es ist der Anfangspunkt. Da nach Theorem 5, § 1, durch 

 jeden invarianten Punkt eine invariante Gerade geht, so kann es also 

 im Endlichen nur solche invariante Geraden geben, die durch den 

 Anfangspunkt gehen, etwa diese 



ax -\- ßy = 0. 



Sie ist invariant, wenn adx-\- ßdy vermöge der Gleichung verschwindet. 

 Dies Increment ist aber gleich 



{ax-{- ß{x-\- y))dt, 



es soll die Form A • {ax -\- ßy) haben. Offenbar geht dies nur, wenn 

 ß = ist, d. h. X = 0. Die y-kxe ist also die einzige im Endlichen 

 gelegene invariante Gerade. Wir wissen ferner, dass die unendlich 

 ferne Gerade invariant ist. Auf ihr muss demnach wenigstens ein 

 invarianter Punkt existieren. Seine Verbindungslinie mit dem Anfangs- 

 punkt wäre eine invariante Gerade, also die Gerade x = 0, d. h. auf 

 der unendlich fernen Geraden bleibt nur der unendlich ferne Punkt 

 der y-kxe in Ruhe. Bei unserer infinitesimalen Transformation 



xp + {x-\r y)q 



besteht also die gesuchte invariante Figur aus zwei Geraden und zwei 

 Punkten: eine der Geraden geht durch die beiden Punkte, einer der 

 Punkte ist der Schnittpunkt beider Geraden. 



