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Kapitel 3, § 3. 



Suchen wir analog das bei 



p-\ryq 

 invariante Gebilde aus Punkten und Geraden. Offenbar ist hier kein 

 im Endlichen gelegener Punkt in Ruhe. Wohl aber ist y = eine 

 invariante Gerade. Ausser ihr giebt es im Endlichen keine invariante 

 Gerade, da sonst der Schnittpunkt beider ein invarianter Punkt wäre, 

 es sei denn, dass die andere Gerade dieser parallel wäre. Aber die 

 Gerade y = c bleibt nur dann in Ruhe, wenn c = ist. Wir wissen, 

 dass die unendlich ferne Gerade invariant ist. Danach ist der un- 

 endlich ferne Punkt der iC-Axe y = ein in Ruhe bleibender. Wäre 

 nun noch ein Punkt der unendlich fernen Geraden in Ruhe, so müsste 

 das durch ihn gehende Büschel von Parallelgeraden in sich trans- 

 formiert werden. Ein solches Büschel kennen wir schon, nämlich 

 y = Const. Jedes andere hat die Gleichungenform 



X — Ky == Const. 

 Es ist invariant, wenn dx — '^(■Sy, also 1 — Ky auch gleich Const. 



vermöge x — ^y = Const. ist. 



/usainmen- 

 stellung der 

 inv. Typen. 



*7^+«y7 



xj\.*(x+y)a 



P-*V9 



p-^auf 



Dies gilt nur für a = 0. Danach 

 besteht das gesuchte invariante 

 Gebilde bei p -{- ygt aus zwei Ge- 

 raden und zwei Punkten, und zwar 

 geht eine der Geraden durch beide 

 Punkte und einer der Punkte ist 

 Schnittpunkt der beiden Geraden. 

 Das invariante Gebilde ist 

 demnach bei 



xp -\- {x -\- y)g[ und p -{' yq 

 dasselbe, soweit keine metrischen, 

 sondern nur Lagenbeziehungen be- 

 rücksichtigt werden. Ähnliches gilt 

 von den beiden anderen Paaren in- 

 finitesimaler Transformationen, die 

 in obigem Satze neben einander 

 gestellt werden. 



Wir haben die invarianten Ge- 

 bilde aus Punkten und Geraden, wie 

 sie sich in jedem Falle durch Rä- 

 sonnements ergeben, die den obigen 

 ganz ähnlich sind, in nebenstehender Tafel schematisch zusammen- 

 gestellt. Dabei bedeutet die Horizontale die a;-Axe, die Verticale die 



Mg. 8. 



