Classification der eingliedrigen projectiven Gruppen der Ebene. 63 



y-Axe und die schräge Gerade die unendlich ferne. (Fig. 8.) Bei 

 den vier letzten infinitesimalen Transformationen bleiben unendlich 

 viele Geraden, die ein Strahlenbüschel, und unendlich viele Punkte, 

 die eine Punktreihe bilden, einzeln invariant. Sie sind jedesmal durch 

 einige Strahlen resp. einige Punkte angedeutet. 



Man erkennt nun sofort, dass es unmöglich ist, eine dieser acht 

 infinitesimalen Transformationen in eine andere derselben vermöge 

 einer linearen Transformation T überzuführen, denn dies würde, da T 

 das invariante Punkt- und Geradengebilde der einen in das der anderen 

 überführen müsste, zunächst höchstens bei den nebeneinander stehenden 

 Paaren von infinitesimalen Transformationen möglich sein. Aber bei 

 diesen müsste jedesmal T eine im Endlichen gelegene Gerade in eine 

 unendlich ferne verwandeln, d. h. T könnte nicht linear sein. 



Dagegen ist es sehr wohl möglich, durch eine allgemeine pi'ojec-y^^^^*®J° '^^^ 

 tive Transformation T diese Paare in sich zu vertauschen, und indem i°^ projoct 



' Transiorm. 



wir hierauf eingehen, erledigen wir den Rest der zu Anfang dieses 

 Paragraphen gestellten Aufgabe, alle Typen von infinitesimalen pro- 

 jectiven Transformationen zu bestimmen. 

 Zunächst geht 



xp -i- (x -jr y)q 



durch die projective Transformation 



X = — ^, y = -\- - 



über in 

 Ferner geht 

 durch diese : 



über in 



Endlich wird 



xq 



durch die projective Transformation 



p'+y'q. 



yg. 



' y '1 



X == — , y = — 



X ' ^ X 



übergeführt in 



4- 

 Es bleiben demnach nur fünf Typen von infinitesimalen projec- 

 tiven Transformationen übrig, nämlich: 



\ xp-^uyg \ p-\-y(l \ P -i-xq \ ocp-^yq \ \ q ■ 



