64 Kapitel 3, § 3. 



Offenbar kann keiner derselben vermöge einer projectiven Trans- 

 formation in einen anderen dieser Typen übergeführt werden, da jeder 

 eine andere invariante Figur besitzt. 



Im ersten Typus xp -j- ayq ist allerdings noch eine Constante a 

 vorhanden, die von 1 und von verschieden anzunehmen ist, denn 

 sonst würde diese infinitesimale Transformation unendlich viele Geraden 

 invariant lassen (vgl. den vierten Typus). Es fragt sich nun nur noch, 

 ob es nicht möglich ist, durch eine projective Transformation T die 

 Constante a zu specialisiereu, d; h. zu erreichen, dass xp -f- ayq in 

 x'p'-j- ayq übergeht, wo a einen bestimmten particularen Wert hat. 

 Eine solche projective Transformation T müsste jenes Dreieck, das 

 bei xp -\- ayq invariant ist, ebenfalls invariant lassen. Entweder 

 müsste sie also jede Seite für sich invariant lassen, also linear sein 

 und die Form haben: 



x'= Ix, y= \iy. 



Dann aber würde xp -f ayq übergehen in xp -\- ayq, also a doch den 

 ursprünglichen Wert behalten. Zweitens aber könnte T die unendlich 

 ferne Gerade zwar invariant lassen, also linear sein, aber die beiden 

 Axen ic = 0, «/ = mit einander vertauschen : 



X = Xy, y = (IX. 

 Dann würde xp -{- ayq übergehen in axp'-\-yq oder xp ■\- — yq. 

 Also können wir erreichen, dass «in - übergeht. Nun sind noch 



vier Möglichkeiten vorhanden. T kann statt der unendlich fernen 

 Geraden eine der beiden Axen invariant lassen, die andere mit der 

 unendlich fernen Geraden vertauschen. Dies giebt zwei Fälle. Weiter- 

 hin kann T die drei Dreieckseiten cyklisch oder endlich in inversem 

 Sinne cyklisch vertauschen. Man findet dann — die Ausrechnung 

 überlassen wir dem Leser — , dass die sechs Werte 



1 a ^ a — 1 1 



^1 " } T5 1 — Of, , :; 



' a'a — 1' ' o:'l — a 



an Stelle von am xp -{- ayq eingehen können. Also ist die Con- 

 stante a nicht in einen speciellen Wert überführbar, sie ist wesentlich, 

 und nur die sechs obigen Werte liefern infinitesimale Transformationen, 

 die mit einander innerhalb der allgemeinen projectiven Gruppe gleich- 

 berechtigt sind. Die Analogie der obigen Werte mit den sechs Werten 

 der Doppelverhältnisse von vier Punkten (vgl. § 1 des 1. Kap.) bat 

 übrigens einen tieferen Grund. 



Wir fassen das Bisherige zusammen in dem 



Theorem 6: Jede infinitesimale projective Transformation 

 oder jede eingliedrige projective Gruppe der Ebene ist inner- 



