Classification der eingliedrigen projectiven Gruppen der Ebene. 



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halb der allgemeinen projectiven Gruppe der Ebene mit einer 

 der folgenden : 



xp + aijq, p 4- yq, p + xq, xp + yq, q 



gleichherechtigt. Die Constante a im ersten Typus ist wesentlich 

 und verschieden von Eins und von Null. 



Fig. 9. 



Man kann übrigens auch auf rein anscliaulichcm Wege erkennen, dass ^^^p'^- aii- 

 nur die fünf oben gefundenen Figuren, bestehend aus invarianten Punkten fünf invar. 

 und Geraden, bei den infinitesimalen projectiven Transformationen auftreten ^''^'"'''"■ 

 können. Dabei hat man nur von den Sätzen Gebrauch zu machen, dass 

 eine infinite^J^ale projective Transformation Uf die Doppelverhältnisse un- 

 geändert lässt, und dass sie mindestens einen invarianten Punkt und eine 

 durch ihn gehende invariante Gerade besitzt. Hieraus folgt nämlich, dass, 

 wenn vier Punkte invariant sind, die ein wirkliches Viereck bilden, als- 

 dann infolge der Möbius' sehen Construction (vgl. § 3, Kap. 2) alle Punkte 

 in Ruhe bleiben, dass ferner, wenn drei Punkte invariant sind, die auf 

 einer Geraden liegen, jeder Punkt dieser Geraden in Euhe bleibt und endlich 

 analog, wenn drei durch einen Punkt gehende Geraden invariant sind, jede 

 Gerade durch denselben invariant sein muss (mit Benutzung des Satzes 5 

 des § 1, 1. Kap.). 



Danach sind, was die invarianten Punlde anbetrifft, nur fünf Con- 

 stellationen möglich: Ist es eine endliche Zahl von Punkten, so können 

 es höchstens drei sein, und wenn es wirklich drei sind, so dürfen dieselben 

 nicht auf gerader Linie liegen. Es können aber auch nur zwei sein oder 

 es bleibt nur ein Punkt 

 invariant. Bleiben ande- 

 rerseits unendlich viele 

 Punkte inRuhe, so müssen 

 dieselben eine gerade 

 Linie erfüllen und ausser- 

 halb dieser Geraden kann 

 höchstens noch ein Punkt 

 fest sein, oder aber es 

 bleibt keiner sonst in 

 Ruhe. Sonach ergeben 

 sich die fünf Zusammen- 

 stellungen in Fig. 9. Wir 

 bezeichnen sie mit l), 2), 

 3), 4), 5). 



Entsprechend können wir in betreff der invarianten Geraden schliessen 

 und erhalten so ebenfalls fünf Constellationen , siehe Fig. 10, die wir mit 

 1'), 2'), 3'), 4'), 5') bezeichnen. 



Nun fragt es sich, wie die fünf ersten Figuren mit den fünf letzteren 

 zusammen auftreten können. Liegt der Fall 1) vor, so bleiben offenbar 

 nur die drei Geraden invariant, welche die invarianten Punkte verbinden. 

 Denn jede weitere invariante Gerade würde invariante Schnittpunkte mit 

 diesen dreien haben. Sonach gehören 1) und l') zusammen. Dies liefert 

 das Bild I in Fig. 11. Im Fall 4) haben wir offenbar unendlich viele 



Lic, Continuicriicho Gruppou. 5 



Fig. 10. 



