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Kapitel 3, § 3. 



Fig. 11. 



invariante Geraden, die die Constellation 4') haben. Also gehören 4) und 

 4') zusammen, sie liefern das Bild IV in Fig. 11. Im Fall 5) bleibt 

 zunächst die Gerade der invarianten Punkte in Ruhe. Wird irgend 



ein Punkt j? durch 

 Uf nach p ge- 

 führt, so ist offen- 

 bar die Gerade J9j9' 

 invariant , denn 

 einer ihrer Punkte, 

 ihr Schnittpunkt 

 mit der invarianten 

 Punk^reihe, ist fest. 



Sonach giebt es durch jeden Punkt der Ebene eine invariante Gerade, und 

 alle invarianten Geraden können nur in der Form 5') angeordnet sein. 

 5) und 5') liefern das Bild V in Fig. 11. Nun könnten noch 2), 2'), 

 ferner 3), 3'), endlich aber auch 2), 3) und 

 3), 2') zusammen gehören. Erstere beiden Paare 

 liefern die Bilder II und III in Fig. 11. Letztere 

 beiden Paai'e sind aber unmöglich, wie wir jetzt 

 beweisen werden*) : 



Wir brauchen den Beweis nur für den Fall 

 2), 3') zu führen, da die Annahme 3), 2') dadurch 

 aus ihm hervorgeht, dass Punkt mit Gerade zu 

 vertauschen ist. Im Falle 2), 3') würden nun 

 zwei Punkte J., B und ihre Verbindende invariant 

 sein. Ausserdem darf kein Punkt und keine Ge- 

 *'^^'- ^2- rade in Ruhe bleiben. Nun werde der Punkt p 



durch TJf nach p' geführt. (Fig. 12.) Dann geht 

 Ap bei Uf in Ap über, ein Punkt q von Ap also in einen Punkt q 

 von Ap'. pp und qq schneiden sich in einem Punkte 0. Wir werden 

 sehen, dass BO eine invariante Gerade sein müsste. BO schneide nämlich 

 Ap in s, Ap' in /. Alsdann ist das Doppelverhältnis 

 der vier Strahlen Bp^ Bq^ BA^ Bs gleich dem der vier 

 Punkte p, q, A, s, also gleich dem der vier Strahlen von 

 nach j), q, J., 5, d. h. gleich dem der vier Punkte 

 p'^ q', A, s' oder schliesslich gleich dem der vier Strahlen 

 Bp', Bq, BA^ Bs'. Bei Uf geht nun Bp in Bp', Bq 

 in Bq', BA in sich über. Weil das Doppelverhältnis 

 der vier Strahlen Bp^ Bq, BA, Bs durch Uf nicht 

 gestört wird, und weil es gleich dem der vier Strahlen 

 Bp', Bq', BA, Bs' ist, so geht mithin bei Uf der 

 Strahl Bs in den Strahl Bs' über. Beide aber fallen 

 zusammen in B 0, d.h.BO ist eine invariante Gerade. Nun soll aber nur 

 AB eine invariante Gerade sein. Demnach liegt auf AB. (Fig. 13.) Da 



Fig. 13. 



*) Dieser geometrische Beweis rührt von Scheffers her. Es sei hervor- 

 gehoben, dass der Beweis mit geringen Änderungen auch für die endlichen pro- 

 jectiven Transformationen gilt. 



