Classification der eingliedrigen projectiven Gruppen der Ebene. 67 



VP 1 ül' durch gehen, so sehen wir: Die Punkte des Strahls Ap er- 

 halten bei Uf Fortschx-eitungsrichtungen nach hin. A und J^ können 

 wir nun in dieser Überlegung vertauschen und finden : Die Punkte des 

 Strahls Bp bewegen sich bei TJf auf zu. Ein Strahl von aus, der 

 Ap in 5, Bp in r trifft, enthält also zwei Punkte q und r, die bei TJf 

 diesen Strahl nicht verlassen. Jeder Strahl von aus ist somit eine in- 

 variante Gerade, es existieren also unendlich viele invariante Geraden, was 

 der Voraussetzung widerspricht. 



Die Combination 2), 3') ist also unmöglich, ebenso die Combination 

 3), 2'), und es bleiben mithin nur die fünf in Fig. 11 angegebenen 

 Fälle I bis V. In der That haben wir oben gerade diese fünf Fälle auf 

 anderem Wege erhalten. 



Man könnte nunmehr, auf diesen geometi-ischen Ergebnissen fussend, 

 auf neuem Wege die Typen von infinitesimalen projectiven Transformationen 

 bestimmen. Z. B. im Fall I wählt man das Coordinatensystem so, dass 

 die beiden Axen und die unendlich ferne Gerade die invarianten Geraden 

 werden. Nach Satz 10 hat dann wegen der invarianten unendlich fernen 

 Geraden TJf die Form 



Uf^EE{a-\r cx-]r dy)p -\- {h -\- ex ■\- gy)q. 



Da rr = und y = invariant sein sollen, so muss a = d = h=^e^=0 

 sein und es bleibt 



cxp + gyq. 



Nun soll keine weitere invariante Gerade ausser jenen dreien existieren. 

 Eine solche würde noch einen invarianten Punkt auf der x- oder y-A\e 

 nach sich ziehen oder ginge durch den Anfangspunkt. Ersteres ist dann und 

 nur dann ausgeschlossen, wenn c und y =^ sind. Die Gerade y — Ix = 

 bleibt nur dann invariant, wenn gy — lex vermöge y == Ix verschwindet, 

 d. h. wenn l{g — c) = ist. Dies würde nur dann für ein von ver- 

 schiedenes l möglich sein, wenn g ^= c wäre. Also ist g -^ c. Indem 



wir durch c dividieren und — = « setzen, finden wir in der That unseren 

 Typus 



xp + ayq, 



im dem wegen ö' + 0, f + 0, g -^ c auch a =j= und =|= 1 sein muss- 

 In dieser Weise könnten wir von neuem auch zu den Figuren II bis V 

 die Typen ableiten und würden so wieder zu den früher gefundenen kommen. 

 Wir empfehlen dem Leser, dies wirklich für die Fälle II bis V durch- 

 zuführen. Man hat jedesmal das Coordinatensystem in passender Weise in 

 die invariante Figur hineinzulegen. 



Ist eine infinitesimale projective Transformation üf^^p -{- tjq 

 vorgelegt, so kann man die Frage aufwerfen, mit welchem Typus sie 

 gleichberechtigt ist. Zur Beantwortung sucht man zunächst die in- 

 varianten Punkte und Geraden. Die im Endlichen gelegenen invari- 

 anten Punkte machen keine Schwierigkeit. Man findet sie, indem man 



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