68 Kapitel 3, §§ 3, 4. 



^ = rj = setzt. Die "unendlich fernen werden am bequemsten durch 

 Benutzu%g des Differentialquotienten y' bestimmt. Es ist ja: 



*j'-=(S-^'ll)« 



(vgl. § 3 des 2. Kap.). y = c ist invariant, wenn dy' für y' = c ver- 

 schwindet. Alsdann ist y — ex = Const. ein invariantes Parallelen- 

 büschel und der Punkt desselben ein unendlich ferner invarianter Punkt. 

 Dabei ist zu beachten, dass die Schar x = Const. besonders unter- 

 sucht werden muss, da sie nicht durch eine Differentialgleichung y' = c 

 dargestellt werden kann, y' spielt bei diesen Untersuchungen gewisser- 

 „ y' als massen die Rolle der Coordinate der unendlich fernen Punkte. Eine 



Coordmate 



für =« ferne g.|gißi^a^j.|;jcre Behandlungsweisc aller Punkte der Ebene wird uns erst 



Punkte. & O O 



später die Benutzung homogener Coordinaten ermöglichen. 

 «eispioio. 1. Beispiel : Man soll yp — xc[ auf den zugehörigen Typus zurück- 



führen. Im Endlichen ist nur der Anfangspunkt invariant. Ferner 



ist hier 



öy'=-{\^-y')8t, 



d. h. es sind die Parallelenbündel ^ == + * invariant. Da somit gerade 

 drei invariante Punkte existieren, ist der zugehörige Typus der erste: 

 xp -\- ayq. Die Überführung verlangt offenbar nur eine lineare Trans- 

 formation , welche die Geraden — == + * in die Geraden x. =Q und 



2/j = verwandelt. Es soll also x^ vermöge x — iy = und y^ ver- 

 möge X -{- iy = verschwinden. Wir setzen daher direct 



Xi=x — iy, y^=x -i- iy 

 und erhalten 



yp — xq = {y -\- ix)2h + (?/ — i^)üi 



womit die Reduction geleistet und der Coefficient a = — 1 bestimmt ist. 

 3. Beispiel : Man führe x^p -f- xyq auf den zugehörigen Typus 

 zurück. 



§ 4. Die selbstprcjectiven Curven. 



Wir gehen jetzt dazu über, die Bahncurven der eingliedrigen pro- 

 jectiven Gruppen zu untersuchen. Eine infinitesimale Transformation 



Uf^lp + Tjq 



erzeugt, wie wir wissen, eine eingliedrige Gruppe (vgl. § 2 des 2. Kap.), 

 deren oo^ Transformationen durch Wiederholung von Uf entstehen. 

 Bei dieser fortwährenden Ausführung von Uf beschreibt ein Punkt {x, y) 

 allgemeiner Lage eine Curve, deren Tangentialrichtung durch 



