Die selbstprojectiven Curven. 69 



dy ^^ 7] 

 dx g 



gegeben wird. Im ganzen existieren also oo^ derartige Curven, nämlicb 

 die Integralcurven der Differentialgleichung 



dx' dy 



Führt man auf einen beliebigen Punkt p irgend eine endliche Trans- 

 formation der eingliedrigen Gruppe Uf aus, so geht er in einen Punkt 

 der durch p laufenden Integralcurve über. Wir nennen daher jene 

 oo^ Integralcurven die Bahncurven der eingliedrigen Gruppe Uf. Baiincurveu 



Offenbar ist jede Bahncurve invariant gegenüber der Gruppe Uf 

 denn die Transformationen der Gruppe führen die Punkte dieser Curve 

 immer wieder in Punkte derselben Curve über. Eine bei der Gruppe Uf 

 invariante Curve ist demnach entweder Bahncurve oder sie besteht 

 aus lauter einzeln invarianten Punkten*). 



Nach Satz 9 in § 2 dieses Kapitels ist daher auch klar, dass, 

 wenn die Gruppe Uf durch Ausführung einer projectiven Transfor- 

 mation T in die gleichberechtigte Gruppe Vf übergeht, alsdann auch 

 die Bahncurven der ersteren durch T in die der letzteren Gruppe ver- 

 wandelt werden. Demnach werden wir, um überhaupt alle möglichen 

 Bahncurven der eingliedrigen projectiven Gruppen zu untersuchen, uns 

 darauf beschränken können, die Bahncurven der fünf Typen zu studieren. 

 Durch projective Transformation gehen ja aus ihren Bahncurven alle 

 denkbaren Bahncurven hervor. 



Wir beginnen mit den einfachsten Fällen, dem vierten und fünften 7'"*®^ 



" 'II und itinftor 



Typus, also mit xp -\- yq und q. In beiden Fällen sind die Bahn- '^jp«»- 

 curven — wie schon aus der geometrischen Bedeutung von X2) + yq 

 und q hervorgeht — Geraden, die entweder von dem einzeln invari- 

 anten Punkte oder aber von einem Punkte der Geraden invarianter 

 Punkte ausgehen. Man erkennt dies auch aus den Differential- 

 gleichungen der Bahncurven: 



dx dy 



X ~ y 



deren Integration = Const. und x = Const. giebt. Bei einer mit 

 ^P + 2/2 gleichberechtigten eingliedrigen projectiven Gruppe verlaufen 



*) Eine genauere Begründung findet man in den „Dffgln. m. inf. Trf.", 

 Kap. 4, § 3. Die Gleichungen der besprochenen Curven treten schon bei d'Alem- 

 bert und Jacobi auf. Im Übrigen vergleiche man die Fussnote zum Schluss 

 dieses Paragraphen. 



