70 



Kapitel 3, § 4. 



die Bahncurven also wie in Fig. 14, bei einer mit q gleichberechtigten 

 wie in Fig. 15. Die invarianten Punkte sind in diesen Figuren an- 

 gedeutet. 



Driuer ßgj ^gj, eingliedrigen Gruppe des dritten Typus p -\- xq erhalten 



wir als die Bahncurven die Integralcurven der Differentialgleichung: 



dx dy 



1 ~ 'x'^ 



d. h. die Curven zweiten Grades 



y — \x^ = Const. 

 Die elementare analytische Theorie der Curven zweiten Grades oder 



Kegel- 

 scbuitte. 



Fig. 14. 



Fig. 15. 



Kegelschnitte setzen wir als bekannt voraus und wollen bei dieser 

 Gelegenheit einige projective Sätze über diese Curven möglichst kurz 

 entwickeln : 



Da jede Gleichung zweiten Grades 



ax" + 2ßxy + yy'^ -\- 2dx -\- 2sy -{- cp == 

 offenbar wieder in eine Gleichung zweiten Grades übergeht, wenn man 

 vermöge einer projectiven Transformation neue Veränderliche x^, y^ ein- 

 führt, so folgt: 



Satz 13: Jeder Kegelschnitt geht durch projective Transformation 

 wieder in einen Kegelschnitt über. 



Denken wir uns an einen Kegelschnitt in zwei Punkten o und p 

 die Tangenten, die sich in q schneiden mögen, und überdies die Be- 

 rührsehne op gezogen, so giebt es (nach Satz 4, § 1 des 2. Kap.) 

 immer eine projective Transformation, welche die eine Taugente, etwa 

 die in o berührende, in die ic-Axe, die Berührsehne op in die ^-Axe 

 und die andere Tangente in die unendlich ferne Gerade verwandelt. 



