Die selbstprojectiven Curven. 



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rig. 16. 



(Fig. 16.) Dabei nimmt auch die Gleichung des Kegelschnittes eine 

 besonders einfache Gestalt an. Weil die Curve durch den Anfangs- 

 punkt geht, so fehlt in ihrer Gleichung das absolute Glied cp. Weil 

 die a;-Axe in o berühren soll, so ist auch der Coefficient d gleich 

 Null. Der unendlich ferne Punkt p der 

 2/-Axe soll dem Kegelschnitt angehören, 

 d. h. die Gleichung darf für x == nur 

 eine endliche Wurzel y haben. Es muss 

 demnach auch y = sein. Jetzt lautet 

 .die Gleichung: 



ax^ -j- 2ßxy -\- 2ey = 0. 

 Die unendlich ferne Gerade sollte Tau- 

 gente in p sein. Die Gleichung der Tan- 

 gente im Punkte (x, y) aber lautet jetzt, wenn x', y die laufenden 

 Coordinateu bezeichnen : 



{ax + ßy)x''^ (ßx + £)y = — sy 

 oder 



Für den Punkt p, d. h. für x = 0, y = c>o würde diese Gleichung die 

 im Endlichen gelegene Tangente 



ßx'-\-£ = 

 liefern, wenn nicht ß = ist. Somit bleibt als jetzige Kegelschnitts- 

 gleichung : 



ax^ + 2£y == 0. 



Natürlich kann die nichtverschwindende Zahl a fortdividiert und die 

 Zahl £ durch Einführung eines passenden Vielfachen von y als neues 

 y, also durch eine projective Transformation, welche das Dreieck opq 

 ungeäudert lässt, etwa gleich — 1 gemacht werden. Daher: 



Satz 14: Jeder nicht verfallende Kegelschnitt kann durch V^ojective ^:^^'^^l°J^^ 

 Transformation auf die Gleichung 



x^ — 2y = 

 gebracht werden. 



Oben ergaben sich die oo^ Bahncurven 



x^ — 2y = Const. 

 Somit folgt: 



Satz 15 : Jeder Kegelschnitt ist Bahncurve wenigstens einer ein- 

 gliedrigen projectiven Gruppe. 



Es ist übrigens leicht, mehrfach uuendlich viele proiective Transfor-^5"J- '{j'^^sf. 



o ' r J ' eines Kegel- 



mationen zu finden, die emen vorgelegten Kegelschnitt in sich überführen, scimittea 

 Sind nämlich m, ft, ü^, l^^ A,j, X^ gewisse lineare Functionen von x^ y und 



aller Kegel- 

 schnitte auf 

 eine typ. 

 Form. 



