72 Kapitel 3, § 4. 



bedeuten m = , fi = zwei Geraden, die beide den Kegelschnitt in ge- 

 trennten Punkten schneiden, sind fei'ner Zj == 0, I2 = die Tangenten in 

 den Schnittpunkten der Geraden m = 0, dagegen A^ = 0, Ag == die in 

 den Schnittpunkten der Geraden |it == mit dem Kegelschnitt, so giebt es, 

 wie man leicht erkennt, immer zwei solche Zahlen Je und jc, dass die 

 Gleichunar des Kegelschnittes sowohl in der Form 



auch als in der Form 



X, X., — KLi^ = 



geschrieben werden kann. Nehmen wir an, die linearen Functionen Aj, A^ 

 und fi seien, statt in a;, ?/, in jc^, y^ geschrieben, so bestimmen die 

 Gleichungen 



^1 h m Yk 



eine projective Transformation der Punkte (a;, y) in die Punkte (a^i, y,) 

 und zwar eine solche, die unsere drei Geraden l^ = 0, I2 = 0, m = in 

 die drei Geraden Aj = 0, A2 = 0, jti = und den Kegelschnitt in sich 

 überführt. Da die Geraden m = und jli= beliebig angenommen 

 werden konnten, so findet man in dieser Weise 00^ projective Transfor- 

 mationen, die den Kegelschnitt in sich überführen. 



Den Kegelschnitt x^ — 2y = können wir jetzt als den Typus 

 aller (nicht in zwei Geraden zerfallender) Kegelschnitte betrachten. 

 Sätze, die für diesen gelten und nur von Lagenbeziehungen reden, 

 gelten dann auch für jeden Kegelschnitt. Diesen Umstand benutzen 

 wir zur Ableitung einiger wichtiger Sätze, die wir, da sie manchem 

 Leser nichts neues bieten mag, durch kleineren Druck herausheben. 

 Sätze aus Ein Punkt u oder f«, y) durchlaufe den Kegelschnitt (Fig. 16). Als- 



Geomotriü dann beschreiben die Strahlen pu und ou je ein Strahlenbüschel, und zwar 

 "^schnitfe ^' ^^^ jedem Strahl pu des ersteren ein Strahl ou des letzteren durch den 

 Kegelschnitt eindeutig zugeordnet. Wir werden zeigen, dass stets vier 

 Strahlen des einen dasselbe Doppelverhältuis bilden wie die entsprechenden 

 vier Strahlen des anderen, pu zunächst ist bei unserer Wahl des Coordi- 

 natensystems parallel der y-Axe, daher schneidet pu auf der x-Kxq die 

 Strecke x ab. Nach Satz 1 und 4 des § 1, 1. Kap., ist das Doppelverhältnis 

 von vier Strahlen des Büschels p gleich dem der vier entsprechenden 

 Werte x. Der Strahl ou bildet mit der ic-Axe einen Winkel, dessen Tan- 



gente gleich — ist, und vier Strahlen des Büschels bilden dasselbe Doppel- 



Verhältnis wie die entsprechenden vier Werte von — , nach der zu Anfang 

 des § 3, 2. Kap., gemachten Bemerkung. Nun besteht wegen der Kegel- 

 schnittsgleichung zwischen x und — die Beziehung 



i» = 2 ^ ■ 



X 



