Die selbstprojectiven Curven. 73 



Nach Satz 6, § 2 des 1. Kap., ist demnach das Doppelverhältnis von vier 



Werten x gleich dem der entsprechenden Werte ~ • Also sind in der 



That die Büschel p und o projectiv auf einander bezogen: Vier Strahlen 

 des ersteren bilden dasselbe Doppelverhältnis wie die entsprechenden vier 

 Strahlen des letzteren, p und o waren beliebige Punkte des Kegelschnittes. 

 Somit folgt: 



Satz 16 : Durchläuft ein PunM einen Kegelschnitt, so beschreiben die 

 Strahlen von ihm nach sivei festen Punkten des Kegelschnittes projective Strahlen- 

 büscliel. 



Sind also z. B. a, &, c, d^ a;, y sechs Punkte des Kegelschnittes, so 

 ist, wenn wir x und y zu Strahlencentren wählen, das Doppelverhältnis 

 der Strahlen «a, xb^ icc, xd gleich dem der Strahlen ya, ijb, yc^ yd. 

 Lassen wir x den Kegelschnitt durchlaufen, so folgt also : 



Satz 17 : Ein Kegelschnitt Jcann dadurch erzeugt werden, dass man 

 irgend vier Punkte auf ihm wählt und einen fünften Punkt der Curve sich so 

 bewegen lässt, dass seine Strahlen nach jenen vier Punkten ein constantes 

 Doppelvcrhältnis bilden. 



Legen wir andrerseits im Punkte u die Tangente an den obigen 

 Kegelschnitt. Sie bestimmt auf den Tangenten oq und pq je einen Punkt v 

 bez. w. Durchläuft u den Kegelschnitt, so durchlaufen v und /r die beiden 

 festen Tangenten und zwar, wie leicht zu sehen, in projectiven Punktreihen. 

 Das Doppelverhältnis von vier Lagen von w ist nämlich gleich dem der 

 Strahlen von o nach den Stellen w (nach Satz 1, § 1 des 1. Kap.). Diese 

 Strahlen sind parallel den Tangenten oh; und das Doppelverhältnis derselben 

 ist demnach gleich dem Doppelverhältnis der vier trigonometrischen Tan- 

 genten der Neigungen unserer vier Curventangenten. Die Tangente im 

 Punkt (x, y) hat aber die Gleichung 



XX '- y = ?/, 



sodass die trigonometrische Tangente ihrer Neigung gerade gleich x ist. 

 Der Schnittpunkt v der Tangente mit der x-Axe dagegen hat die Ab- 



scisse — • Entsprechend dem Obigen folgt also : 



Satz 18 : Umhüllt eine Gerade einen Kegelschnitt, so bestimmt sie auf 

 zwei festen Tangenten desselben projective Punktreihen. 



In der projectiven Geometrie pflegt man häufig durch die Sätze 16 

 und 18 direct die Kegelschnitte zu definieren und rückwärts zu zeigen, 

 dass es die Curven zweiten Grades sind. 



Man kann nämlich auch umgekehrt sagen : 



Satz 19 : Bavegt sich ein Punkt so, dass seine Strahlen nach vier 

 festen Punkten beständig dasselbe Doppelverhältnis bilden, so beschreibt er eine 

 Curve ztoeiten Grades; eine Gerade, deren Schnittpunkte mit vier festen Ge- 

 raden beständig dasselbe Doppelverhältnis bilden, umhüllt eine Curve zweiten 

 Grades. 



Wir verzichten darauf, den einfachen Beweis hierfür besonders an- 

 zugeben. 



Kehren wir nun zu den Bahncurven des Typus p -\- xq zurück. 

 Es sind dies die oo^ congruenten Parabeln 



