74 Kapitel 3, § 4. 



y — ^x^ = Coust., 

 die ihre Axen in der y-Axe haben, also gewisse oo^ Kegelschnitte, 

 welche die invariante Gerade (die unendlich ferne Gerade) sämtlich in 

 dem invarianten Punkte Ä berühren (dem unendlich fernen Punkte 

 der y-Äxe). Daher sjnd auch die oo^ Bahncurven einer beliebigen 

 mit 2? -\- xq gleichberechtigten Gruppe oo^ solche Kegelschnitte. Fig. 17 

 giebt ein Bild derselben. 



Krster 

 Typus. 



Es bleibt nun noch der erste und zweite Typus zu untersuchen übrig. 

 Der erste Typus xp + ayq ist von allen fünf Typen der all- 

 gemeinste. Denn es giebt wirklich cx)'' infinitesimale projective Trans- 

 formationen, die, wie diese, nur 

 drei Punkte in Ruhe lassen. Zu- 

 nächst nämlich giebt es, da der Typus 

 eine wesentliche Constante a enthält, 

 oo^ solche, die ein bestimmtes Punkte- 

 tripel in Ruhe lassen, also, da es in 

 der Ebene oo^ Tripel von Punkten 

 giebt, gerade oo^ infinitesimale Trans- 

 formationen, die mit x^) -{- ccyq gleich- 

 berechtigt sind. Im allgemeinen wird 

 daher eine vorgelegte infinitesimale 

 projective Transformation üf zu 

 diesem ersten Typus gehören; nur 

 in Specialfällen, wenn zwischen den 

 Coefficienten von Uf gewisse besondere Relationen bestehen, wird Uf 

 auf einen der vier anderen Typen reducibel sein. 



Wir werden uns deshalb mit diesem ersten Typus eingehender 

 beschäftigen. Es sind 



xp -f ccyq, xp -f ßyq 



zwei zu diesem Typus gehörige eingliedrige Gruppen, die dasselbe 



Dreieck invariant lassen. Ihre endlichen Gleichungen ergeben sich 



durch Integration der simultanen Systeme : 



dx^ ^ dy^ - 



«1 «3/1 



in der Form: 



x^ = xe\ y^ = ye"*] x^ = xe^, y^ == yei^''. 



Führt man aber diese beiden Transformationen nach einander in der 



einen oder anderen Reihenfolge aus, so erhält man beide Male dieselbe 



Transformation, nämlich : 



Fig. 17. 



«1 ßVi 



== xe* + ^. 



y^ = ye^^+l^^ 



