Die selbstprojectiven Curven. 75 



Wir sagen also : 



Satz 20 : Lassen zwei eingliedrige projective Gruppen dieselben drei 

 P'unl'te und Jceine anderen Punkte in Rtdie, und ist S eine Transfor- 

 mation der einen, T eine der anderen, so ist ST=TS. Oder: die 

 beiden Gruppen sind vertauschbar*). 



Wir wollen nun annehmen, die eingliedrige projective Gruppe Uf 

 sei auf den Typus xp -\- ayq reducibel, aber nicht gerade notwendig 

 schon reduciert. Sie lässt dann drei Geraden invariant, deren Schnitt- 

 punkte Ä, B, G die drei invarianten Punkte 

 sind. (Siehe Fig. 18.) Es sei ferner p ein be- 

 liebiger Punkt. TJf erteilt ihm eine infinitesi- 

 male Fortschreitung, die mit der Tangente der 

 durch p gehenden Bahncurve zusammenfällt. 

 Nun giebt es nach Satz 7, § 1 des 2. Kap., 

 stets eine projective Transformation T, die 

 auch gerade die drei Punkte Ä, JB, C in Ruhe 

 lässt, und die den Punkt ^j in eine vorgegebene 

 beliebige andere Stelle p' überführt. S möge irgend eine Transfor- 

 mation der Gruppe Uf sein. Führen wir T auf die Transformationen 

 der Gruppe Uf aus, so geht S in T—^ST über (nach Satz 5, § 2 

 des 3. Kap.). Nach Satz 20 aber ist S mit T vertauschbar, daher 

 T--'ST=^T-^TS= S. T führt daher die eingliedrige Gruppe Uf 

 in sich über. Zugleich aber führt T den Punkt p in pt und die durch 

 p gehende in die durch p gehende Bahncurve über, also auch die 

 Tangente oder Fortschreitungsrichtung von p in die von p', während 

 pAj pB, pC in p'A, p'B, pG übergehen. Andrerseits lässt T als 

 projective Transformation Doppelverhältnisse ungeändert. Mithin folgt: 



Satz 21 : Längs aller Bahncnrven einer nur drei Punkte invariant ^:<''?"l^.*''- 

 lassenden eingliedrigen projectiven Gruppe ist das Doppelverhälttiis der ^^"^ i"^*^^"- 

 Strahlen nach deti invarianten Punkten und der Tangente der Bahncurve 

 ein und dasselbe. 

 1^ Ganz analog lässt sich beweisen: 



W^ Satz 22 : Längs aller Bahncurven des vorigen Satzes ist das Boppel- 

 verhältnis der Schnittpunkte der Tangente mit den invarianten Geraden 

 und des Berührpimktes der Tangente dasselbe. 



Nach dem ersten Satze kann man die Fortschreitungsrichtung 

 jedes Punktes durch eine einfache Construction bestimmen, sobald sie 

 für einen Punkt gegeben ist. Indem man beständig den so con- 



") Kürzer folgt dies ans den „Diffgln. m. inf. Trf.", Satz 12 des § i, Kap. 14. 



