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Kapitel 3, § 4. 



struierten Richtungen nachgeht, erhält man die Bahncurven. Fig. 19 

 giebt ein Bild von ihnen. Die drei invarianten Punkte sind im all- 

 gemeinen singulare Punkte der Bahncurven; diese selbst sind zumeist 

 transcendent. Wir kommen hierauf nachher zurück. 



die^Babn-' ^^T^ kann ohns Mühe eine Eeihe von Sätzen über die Bahncurven auf- 



curven. stellen*). Wenn man z. B. in jedem Punkte einer Bahncnrve eine Gerade 

 zieht, die mit den Strahlen nach den invarianten Punkten irgend ein ge- 

 gebenes Doppelverhältnis bildet, so er- 

 hält man eine Schar von oo^ Geraden, 

 die offenbar durch Uf unter einander 

 vertauscht werden. Die Curve, die sie 

 einhüllen, geht daher ebenfalls in sich 

 über, d. h. sie ist eine Bahncnrve. 

 Ebenso: Wenn man auf jeder Tangente 

 einer Bahncnrve den Punkt bestimmt, 

 der mit den Schnittpunkten der Tan- 

 gente mit den drei invarianten Geraden 

 irgend ein gegebenes Doppelverhältnis 

 bestimmt, so ist der Ort dieser Punkte 

 wieder eine Bahncnrve. Aus Satz 20 

 und 1 9 folgt ferner : Zieht man von 

 irgend einem bestimmten Punkte Tan- 

 genten an alle Bahncurven, so liegen 

 deren Berührpunkte auf einem Kegelschnitt durch J., B, C und jenen Punkt. 

 Analog : Weun man in jedem Punkt irgend einer bestimmten Geraden die 

 Tangente an die hindurchgehende Bahncurve zieht, so umhüllen diese Tan- 

 genten wieder einen Kegelschnitt, der die gegebene Gerade und die drei 

 invarianten Geraden berührt. Leicht zu beweisen ist auch, dass, sobald 

 zwei Punkte einer Bahncurve gefunden sind, beliebig viele Punkte dieser 

 oder irgend einer anderen Bahncurve durch blosses Geradenziehen con- 

 struiert werden können. 



Sind die drei invarianten Punkte Ä^ B^ C reell und ist auch die infini- 

 tesimale Transformation reell, so sieht man leicht ein, dass die reellen Bahn- 

 curven durch zwei der drei invarianten Punkte hindurchgehen, durch den 



Fig. li). 



dritten nicht. 

 Sind 



Wir verzichten jedoch auf den ISIachweis. 

 \ EE a^x -\- \y + Ca -= 0, 



^3 = «3^ + \V 4- C, = 



die drei invarianten Geraden, so hat jede Transformation der Gruppe TJf 

 bekanntlich (vgl. Satz 4, § 1 des 2. Kap.) die Form: 



i: 



c'^" 4 





l, 



'3 '3 's '3 



WO die r die Ausdrücke ?, aber in x, y statt in x, y geschrieben, 



*) Vgl. die Pussnote zum Schluss dieses Paragraphen. 



