Die selbstprojectiven Curven. 77 



bedeuten. Elimination von t giebt die Bahncurve des Punktes x, y, 

 geschrieben in den laufenden Coordinaten x, y , in der Form : 



UjV • \ij \V/ • \/,,7 ' 



Die Schar der oo' Bahncurven wird demnach, geschrieben in x, y, 

 dargestellt durch 



/h\" n , ihY' Allj?emeiiio 



( , ) = Oonst. I ) (ileicbuug 



^'?.' ^'3' der Bahii- 



Oder curvoii 



wenn 



^1 + ^2 + ^3 = 

 ist, sonst aber die A beliebige Zahlen bedeuten, wie die Zj, /g, L^ drei 

 beliebige von einander unabhängige lineare Ausdrücke in x, y. 



Da, wie wir schon bemerkten, die infinitesimale projective Trans- 

 formation 



üf=i {a -\- ex -\- dy -\- hx^ + ^^xy)p -\- (b -\- ex -\- gy -\- hxy -f- ^iy")(l 

 im allgemeinen eine von der hier betrachteten Art ist, so folgt, dass 

 die Integralcurven der sogenannten Jaeohi' sehen Differentialgleichimg : ^^^°f^!l^^^}^'^_ 



dx dy gleicbung. 



a -\- ex -{- dy -f- hx^ -\- hxy ^ -\- ^oc, -\- gy -\- hxy -j- ky* 

 die Form haben: 



(ßiX + h^y + Ciy'{a.,x + hy -i- c.y-{a^x + h^y + c^Y^ = 0, 

 in der Aj -(- Ag + A3 = ist. Diese Differentialgleichung pflegt mau 

 meistens so zu schreiben : 



(hx + lx,y){xdy — ydx) -\- {a -\- ex -{- dy)dy — {h -{- ex -\- gy)dx = 0. 

 Benutzt man statt x, y homogene Punktcoordinaten, wie wir es später 

 thun werden, so geht die Jacobi'sche Differentialgleichung in ein ver- 

 Icürztes d' Älemberfsches System mit drei abhängigen Veränderlichen über. 



Indem wir den invarianten Punkten A, B, C besonders aus- 

 gezeichnete Lagen erteilen, etwa dadurch, dass wir auf fJ/" eine passende 

 projective Transformation ausüben, erhalten die Bahncurven besonders 

 interessante Formen: 



Nehmen wir zunächst an, zwei der invarianten Punkte seien die ^""^^^ 



' specielle 



unendlich fernen Punkte der Coordinatenaxen, der dritte der Anfangs-^l"':^*^^* '^'"' 

 punkt, so nimmt Uf bekanntlich die Form 



xp -\- ayq 

 an. Die Bahncurven sind dann die Integralcurven 



y == Const. X" 

 der Differentialsleichung 



