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Kapitel 3, § 4. 



dx dy 

 X ay 



Sie sind transcendent, solange a keine rationale Zahl ist. 



Sobald a rational ist, sind die Bahncurven dagegen algebraische 

 Curven, Kegelschnitte ergeben sich in den Specialfällen a = 2, 

 \ oder — 1. Die Annahmen « = und o; = 1 waren früher (siehe 

 Theorem 6 in § 3) ausgeschlossen worden. Man zeigt ohne Mühe, 

 dass das in Satz 21 auftretende Doppelverhältnis durch a gemessen 

 wird. Die Bahncurven sind also Kegelschnitte, wenn die drei Strahlen 

 nach den invarianten Punkten und die Curventaugente harmonisch 

 liegen, (Vgl. § 1 des 1. Kap.) 



Die Curven y = Const. *" gehen durch den einen invarianten 

 Punkt, den Anfangspunkt, hindurch, wenn a positiv ist, durch' einen 

 anderen invarianten Punkt, den unendlich fernen Punkt der y-Axe, 

 wenn a negativ ist. Auf die Frage, ob die Curven durch sonstige 

 invariante Punkte gehen, gehen wir nicht ein, da sie von wesentlich 

 functionentheoretischem Charakter ist und auch für uns kein Inte- 

 resse hat. 



Die Differentialgleichung derjenigen Curven, welche die Bahncurven 

 orthogonal schneiden, lautet: 



xdx -j- aydy = 0. 



Die Bahncurven sind daher stets die orthogonalen Trajectorien der ähn- 

 lichen concentrischen Kegelschnitte 



x^ -j- ay^ = Const. 



Man kann sich hiernach ein Bild vom Verlauf der Bahncurven von xp -\- ayq 

 herstellen (Fig. 20)*). In den Fällen « = 2, -^ oder — 1 erhalten wir 



als orthogonale Trajectorien dieser Kegelschnitte, 

 wie oben bemerkt, wieder Kegelschnitte, in den 

 beiden ersten Fällen Parabeln als orthogonale 

 Trajectorien von Ellipsen, im letzten Fall gleich- 

 seitige Hyperbeln als orthogonale Trajectorien 

 ebensolcher Curven. 



Wir wollen nunmehr annehmen, der eine 

 invariante Punkt sei wieder der Anfangspunkt, 

 während die beiden anderen die sogenannten 

 Kreispunkte seien, jene beiden unendlich fernen 

 imaginären Punkte also, in denen alle Kreise der Ebene die un- 

 endlich ferne Gerade schneiden. Die Transformation lässt dann die 

 unendlich ferne Gerade, sowie die beiden imaginären Geraden x -\- iy =^ 

 invariant. Wegen der erster en Geraden ist sie linear nach Satz 11 des 

 §3. Sind a:^, y^ die transformierten Coordinaten, so setzen wir also: 



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Mg. 20. 



*) Bemerkung von Scheffers. 



