Die selbstprojectiven Cnrven. 



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^1 + «Vi = «(^ + iy), ocy — iij^ =h{x — iy). 

 Infinitesimal ist die Transformation, wenn a und h unendlich wenig 

 von 1 abweichen, also etwa a = \ -\- kSt, h = l -\- ^dt ist. Dann 

 kommt : 



dx = x^ — X = ^ {l{x + iy) -f- iJi(x — iy))dt, 



^y = yi —y = l- iK^ + iy) — /^(t- — iy))dt, 



sodass das Symbol lautet, wenn A + i^ mit 2q, i(X — ji) mit 26 be- 

 zeichnet wird: 



Uf= Q(xp + yq) 4- 6(yp — a;g). 



^P + 2/9' ist die infinitesimale Ähnlichkeitstransformation vom Anfangs- 

 punkt aus, yp — xq die infinitesimale Rotation um den Anfangspunkt. 

 Uf stellt also jetzt eine sogenannte infinitesimale Spiraltransformation 

 dar: Die Fortschreitungsrichtung -^ 

 jedes Punktes bildet, wie leicht zu 

 sehen, mit der Richtung - des Radius- 



vectors einen constanten Winkel, die 

 Bahncurven sind also jetzt logarith- 

 mische Spiralen um den Anfangspunkt 

 mit demselben Steigwinkel. (Fig. 21.)*) 



Man könnte dies von vornherein aus 

 Satz 21 schliessen, wenn man davon Ge- 

 brauch machte, dass der Winkel zweier 

 Geraden in einer einfachen Beziehung zu 

 dem Doppelverhältnis steht, welches diese Fig. 21. 



beiden Geraden mit den Strahlen von 



ihrem Schnittpunkte nach den Kreispunkteu bilden. Denn dann"'^folgt aus 

 der Constanz des in Satz 21 erwähnten Doppelverhältnisses die des oben 

 erwähnten Winkels. 



Da TJf jetzt den Winkel zweier beliebiger Geraden unverändert lässt, 

 so folgt: Zieht man durch alle Punkte einer logarithmischen Spirale Ge- 

 raden, unter constantem Winkel zur Tangente geneigt, so umhüllen sie 

 wieder eine logarithmische Spirale mit demselben Steigwinkel. Insbesondere: 

 Die Evolute einer logarithmischen Spirale ist wieder eine solche. 



Wir kommen nun zu den Bahncurven einer infinitesimalen pro- 

 jectiven Transformation TJf, die auf den zweiten Typus p -\- yq redu- 

 cibel ist. Uf hat zwei invariante Geraden, ihr Schnittpunkt A und ein 

 Punkt JB auf einer der beiden Geraden bleiben in Ruhe, sonst kein 

 Punkt. Man kann auch hier ähnlich wie im Falle des ersten Typus 

 constructiv die Richtung der Bahncurve in jedem Punkte finden, sobald 



*) Vgl. hierzu die Fussnote zum Schluss des Paragraphen. 



Zweiter 

 Typus. 



