Die selbstprojectiven Cuiven. 81 



a=H,-l, 0, i, 1, 2 

 ist. Sie gestattet 



Uf = {a -\- ex -\- dy + hx^ + hxy)p -\- {h -{- ex -{- gy -{- hxy + ä;^/^)^, 



wenn d{y — x") oder also d^ — ax'^-^dx vermöge !/ = ;z;" verschwindet, 



d. h. wenn : 



lJ^ex-^gx''-{-hx''+^-\-'kx^''—ax"-'^{a-^cx + dx''-\-hx^-\-lx''+'')=0 



ist für jedes x. Dies liefert, sobald a nicht einen der soeben aus- 

 geschlossenen Werte hat, sofort: 



6 = 0, e = 0, a = 0, g—ac = 0, h = 0, d = 0, 1 = 0, 



d. h. TJf reduciert sich auf cipcp -\- ayq). 



Die Curve gestattet also nur die eine infinitesimale projective 

 Transformation xp + ayq, die, wie bekannt, überdies drei ganz be- 

 stimmte Punkte und deren Verbindungsgeraden in Ruhe lässt. Einer 

 von diesen drei Punkten liegt, wie wir wisseii, sicher auf der Curve. 



Die Curve ferner: 



y = (f 



gestattet die allgemeine infinitesimale projective Transformation Uf 

 nur dann, wenn d{y — e^) oder dy — e^'dx vermöge y ==e^ verschwindet, 

 also identisch 

 h -\- ex -\- ge^ -i- hxe^ + he^'' — c^{a -\- ex -f de"" + hx^ + lixe'') = 



ist, und diese Forderung führt nur auf Uf^p-{-yfi, eine infinitesi- 

 male Transformation, die zwei ganz bestimmte Punkte, ihre Ver- 

 binduugsgerade und noch eine ganz bestimmte Gerade durch einen 

 der Punkte invariant lässt. Die beiden Punkte liegen nach dem 

 Früheren sicher auf der Curve. 



Die Geraden und Kegelschnitte dagegen gestatten mehr als eine i^f- project 



O . . Transf., die 



infinitesimale projective Transformation. Ist nämlich eine Gerade etwa<jine Gerad« 

 unendlich fern, so gestattet sie nach Satz 10 des § 3 die oo^ infini- 

 tesimalen projectiven Transformationen : 



{a-\- cx-\- dy)p -\r (b + ex + gy)q. ^ 



Dass andererseits ein Kegelschnitt oo^ projective Transformationen g^-^i^l'^nsiotm. 

 stattet, wurde schon oben (nach Satz 5) in einer Note bemerkt. Wir^^^^^'^^^fJ'^ 

 wollen hier insbesondere die infinitesimalen projectiven Transformationen 

 eines Kegelschnittes bestimmen. Er kann nach Satz 14 in der Form 



x^ — 2y = 



angenommen werden. Er gestattet Uf, wenn xdx — dy vermöge 



y = — verschwindet, also identisch 



liie, Continxiierlicho Gruppen. G 



