82 Kapitel 3, § 4, Kapitel 4, § 1. 



X [a -\- cx -\- ~ X- -j- hx^ -\- -x^) — {b-\- ex-{- |- x^ -f ^ ^^+-^ x^) = 0, 



d. h. 



h = 0, e = a, g = 2c, h-{-d = 0, Je = 



ist. Der Kegelschnitt gestattet demnach die oo^ infinitesimalen pro- 

 jectiven Transformationen : 



(a -\- ex -\- dy — dx^)p -\- {ax -\- 2cy — dxy)q, 

 die sich linear mit constanten Coefficienten aus 



p + xq, xp + 2yq, (x^ — y)p + xyq 

 zusammensetzen lassen. 



Wir sagen also: 



Theorem 7: Es giebt vier Classen von Cnrven, die infini- 

 tesimale projective Transformationen zulassen. Jede derartige 

 Curve kann hei passender Wahl des Coordinatensystems in 

 einer der Formen dargestellt werden: 



y — X" = 0, y — e' = 0, x^ — 2y = 0, y = 0. 

 Eine solche Curve gestattet, sobald sie nicht eine Gerade oder 

 ein Kegelschnitt ist, nur eine infinitesimale projective Trans- 

 formation, die überdies noch drei oder zwei ganz bestimmte 

 FmiJcte, sonst aber keinen Funkt der Ebene invariant lässt. 

 Einer dieser Funkte liegt sicher auf der Curve. Jeder Kegel- 

 schnitt dagegen gestattet oo^, jede Gerade oo^ infinitesimale 

 projective Transformationen^ die aus drei bez. sechs bestimmten 

 von einander unabhängigen infinitesimalen projectiven Trans- 

 formationen linear abzuleiten sind. 



Die hier betrachteten Curven, also die Curven, welche wenigstens 

 eine infinitesimale projective Transformation in sich gestatten, wollen 

 profe^ctive ^^^ künftig selhstprojcctive Curven oder, wo kein Missverständnis möglich, 

 Curven. ^^^z projectivc Curvcn nennen. 



Einen Teil des Theorems sprechen wir nun so aus : 



Satz 23 : Eitie infinitesimale projective Transformation, die eine 

 bestimmte %elbstprojective Curve in sich überführt, lässt auch wenigstens 

 einen bestimmten Funkt der Curve und zwei oder drei ganz bestimmte Ge- 

 raden in Muhe, sobald die Curve weder eine Gerade noch ein Kegelschnitt ist. 



Den invarianten Punkt werden wir als singulären Punkt der Curve 

 bezeichnen, da er also besondere Eigenschaften hat*). 



*) Dass diese Curven eingliedrige projective Gruppen sowie eine Reihe anderer 

 Berührungstransformationen gestatten, bemerkte zuerst Lie. Klein erkannte 

 zuerst, dass die logarithmischen Spiralen zu den projectiven Curven gehören. 

 Vgl. zwei Abhandlungen von Klein und Lie in den Comptes Rendus von 1870 

 und den Math. Ann., Bd. 4. 



