Die allgemeine lineare Grupp 83 



Kapitel 4. 

 Einige Untergruppen der allgemeinen projectiven Gruppe der Ebene. 



Wir haben bisher die allgemeine achtgliedrige und die oo'^ ein- 

 gliedrigen projectiven Gruppen der Ebene besprochen. Die letzteren 

 nennen wir, da sie in jener enthalten sind, eingliedrige Untergruppe7i 

 der allgemeinen projectiven Gruppe. 



In entsprechender Weise bezeichnen wir jede Gruppe von pro- 

 jectiven Transformationen (mit paarweis inversen Transformationen), 

 sobald sie nicht alle oo^ projectiven Transformationen umfasst, als eine 

 Untergruppe der allgemeinen projectiven Gruppe. Später werden wir 

 alle diese Untergruppen, sobald sie von infinitesimalen Transformationen 

 erzeugt werden, besprechen und bestimmen. 



Im vorliegenden Kapitel sollen dagegen zur Einführung in die 

 späteren Theorien nur einige besonders wichtige Untergruppen als 

 Beispiele besprochen werden. Die Wege, die wir dabei einschlagen, 

 werden sich öfters durch Benutzung späterer Sätze abkürzen lassen, wie 

 wir schon früher hervorgehoben. Gerade dadurch wird die Bedeutunö- 

 der späteren Entwickelungen für den Leser einleuchtender werden. 



§ 1. Die allgemeine lineare Gruppe. 



Greifen wir aus der Schar aller oo^ projectiven Transformationen rrojecuve 

 der Ebene diejenigen heraus, die eine bestimmte Gerade g invariant weiThVoSt 

 lassen. Sie seien mit Sa, Sb . . bezeichnet. Definiert sind sie durch "Stattet" 

 die symbolischen Gleichungen: 



{9)Sa = {g), ig)So = (g),'--- 



Offenbar ist dann auch 



(g)SaS, = (g)S, = {g), 



d. h. auch diejenige projective Transformation S(ab), welche die Auf- 

 einanderfolge von Sa und Sb ersetzt, lässt die Gerade g invariant, 

 gehört demnach auch der Schar aller Sa, Sb • • ■ an. Ist ferner S^^ 

 die zu Sa inverse projective Transformation, so folgt aus 



(9) = {9)Sa, 



wenn wir hierauf S^ ausüben : 



{9)S7'=-(9)SaS7' = (g), 



denn SaS~ ist die Identität. Also auch S'^^ gehört zur Schar der g 

 invariant lassenden projectiven Transformationen. 



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