84 Kapitel 4, § 1. 



Satz 1 : Alle projectiven Transformationen, die eine bestimmte Gerade 

 invariant lassen, bilden eine Gruppe mit paarweis inversen Transforma- 

 tionen. 



Denn dass SaSb wieder eine gewisse Transformation Sc der 

 Schar Sa, Sf, • ■ ist, drücken wir eben dadurch aus^ dass wir sagen: 

 (iMs^ibou ^^^ Schar ist eine Gruppe. 



Wir nennen die obige Gruppe insbesondere eine Untergruppe der 

 allgemeinen projectiven Gruppe der Ebene, da sie in dieser enthalten ist. 



T^MTfor- Nehmen wir insbesondere die Gerade g unendlich fern an. Wir 



mationen. zeigten schon in Satz 11, § 3 des 3. Kap., dass die allgemeinsten pro- 

 jectiven Transformationen, welche die unendlich ferne Gerade in Ruhe 

 lassen oder — in elementarer Ausdrucksweise — Parallelen wieder in 

 Parallelen überführen, die lineare Form haben : 



(1) Xi=a^x -\-h,ij -\- €,, y^ = a,x -\-h.^y -\- c^. 



Daher nennen wir die Gruppe aller projectiven Transformationen, 

 ^^j^em®^"" welche die unendlich ferne Gerade in sich überführen, die allgemeine 

 Gruppe, li'iißare Untergruppe der allgemeinen projectiven Gruppe der Ebene oder 

 kurz die allgemeine lineare Gruppe. Dass alle Transformationen von 

 der Form (1) eine Gruppe bilden, kann man übrigens auch analytisch 

 verificieren : Zwei solche lineare Transformationen geben, nach einander 

 ausgeführt, wieder eine lineare Transformation. 



Die allgemeine lineare Gruppe (1) enthält seclis Constanten a^, h^, Cy 

 und «2? \j ^2; die sämtlich wesentlich sind, denn zwei Transformationen 

 von der Form (1) sind dann und nur dann dieselben, wenn die sechs 

 Coefficieiiten der einen mit denen der anderen übereinstimmen. Die 

 vorliegende Gruppe ist demnach eine sechsgliedrige Untergruppe der all- 

 gemeinen projectiven Gruppe. 



Natürlich wird immer vorausgesetzt, dass die Gleichungen (1) 

 auch nach x, y auflösbar seien, d. h. dass die Determinante 



^ 'z^a^h^ — a.^hy =^ 



sei. Dies folgt schon aus der in § 3 des 1. Kapitels getroffenen Fest- 

 setzung, dass die Determinante zI der allgemeinen projectiven Trans- 

 formation von Null verschieden sein soll. Diese Determinante z/ redu- 

 ciert sich jetzt (indem a^ = \ == 0, Cg = 1 zu setzen ist) auf die 

 vorstehende. Aus Satz 3, § 1 des 2. Kap., folgt daher auch sofort, 

 wenn wir z/ die Determinante von (1) nennen: 



Satz 2 : Haben zwei lineare Transformationen die Determinanten A^ 

 und /J^, so ist ^i^d^ die Determinante der linearen Transformation.^ 

 die ihrer Aufeinanderfolge äquivalent ist. 



