Die allgemeine lineare Gruppe. 85 



Durch Auflösung der Gleichungen (1) erhält man die zur Trans- 

 formation (1) inverse, ebenfalls lineare, also der Gruppe angehörende 

 Transformation. Die Aufeinanderfolge beider Transformationen muss 

 eine Transformation der Gruppe liefern. Sie giebt aber die identische 

 Transformation. Es muss also solche Werte der Gonstanten in (1) 

 geben, für die sich jene Gleichungen auf x^ = x, 2/i = 2/ reducieren. 

 In der That sind a^ = h.2= 1, h^ == c^ = a^ = c^ = diese Werte. 

 Nehmen wir nun die Coefficienten unendlich wenig verschieden von 

 diesen Werten an, setzen wir also, indem wir unter dt eine infinitesi- 

 male Grösse verstehen : 



a^ = 1 -\- a^8t, b^ = ßidt, c^ = y^8t, 



a^ = a.idt, \ = l-\- ß.^8t, c^^^y^Öt, 



so muss sich eine infinitesimale Transformation der Gruppe ergeben. ^^^^f^^^^^J^^^^^'' 

 Wirklich erhalten dann x und y unendlich kleine Incremente dx=Xi — x, 

 ^y = yi—y oder : 



dx = (a^x -f ß^y + y^)dt, Öy = {a,x + ß.^y -f y.^dt. 

 Die allgemeine infinitesimale lineare Transformation oder die all- 

 gemeinste infinitesimale projective Transformation, welche die unendlich 

 ferne Gerade in sich überführt, d. h. Parallelen in Parallelen ver- 

 wandelt, hat folglich das Symbol: 



üf= {a^x + ß^y 4- yj> -f {a,x -f ß^y + y^^(l. 

 Hiermit stimmt Satz 10 in § 3 des 3. Kap. überein, denn Uf ist linear 

 ableitbar aus den sechs von einander unabhängigen infinitesimalen 

 linearen Transformationen : 



p, <i, xp, yp, m, ya- 



Man bemerke, dass diese sechs, wenn sie mit U^f ' • ügf bezeichnet 

 werden, die Eigentümlichkeit haben, dass jeder Klammerausdruck (C/i Uk) 

 linear aus L\f ■ • f/g/' (mit constanten Coefficienten) ableitbar, also eben- 

 falls eine infinitesimale lineare Transformation ist. (Man vergleiche 

 hiermit die analoge Bemerkung bei der allgemeinen projectiven Gruppe 

 in § 3 des 2. Kap.) Im zweiten Abschnitt kommen wir auf die Be- 

 deutung dieses wichtigen Umstandes zurück. 



Die linearen Transformationen führen die unendlich ferne Gerade ^t^^^^' Ziche^' 

 sich über. Da die Parabeln als dieienigen Kegelschnitte definiert werden weiche ' 



Parabeln iu 



können, welche die unendlich ferne Gerade zur Tangente haben, so führt parabein 

 eine lineare Transformation — wegen Satz 13, § 4 des 3. Kap. — immer ^^'^'^^*^"'''- 

 die Parabeln wieder in Parabeln über. Eine projective Transformation 

 andererseits , die Parabeln immer wieder in Parabeln verwandelt , führt 

 die unendlich ferne Gerade in sich über, denn sie führt alle Parabeln, 

 welche die unendlich ferne Gerade in demselben Punkte berühren, in lauter 



