86 Kapitel 4, § 1. 



Parabeln über, die eine gewisse Gerade in demselben Punkt berühren. 

 Wäre diese Gerade nicht wieder die unendlich ferne, so hätten die neuen 

 Parabeln zwei gemeinsame Tangenten — nämlich noch die unendlich ferne 

 Gerade. Dies aber kann nicht der Fall sein, denn sonst müssten auch 

 die ursprünglichen Parabeln noch eine zweite gemeinsame Tangente haben. 

 Also kann man die linearen Transformationen definieren als diejenigen pro- 

 jectiven Transformationen, die jede Parabel in eine Parabel verwandeln. 

 Es giebt insgesamt oo* Parabeln, dieselben erfüllen also eine gewisse Diffe- 

 rentialgleichung vierter Ordnung. Die linearen Transformationen sind daher 

 alle projectiven Transformationen, welche diese Differentialgleichung vierter 

 Ordnung invariant lassen. Um die Differentialgleichung aufzustellen, haben 

 wir die allgemeine Gleichung einer Parabel 



(ax -f- hyy + 2cx -j- 2dy + e = 



viermal zu differenzieren und die Coefficienten zu eliminieren. Durch die 

 erste Differentiation wird sogleich e entfernt. Die zweite Differentiation 

 schafft auch c fort, und die dritte giebt, wenn wir durch y" dividieren: 



Die nächste Differentiation entfernt d. Indem wir dann ? = A setzen, 

 kommt ; " 



und durch die letzte Differentiation wird endlich auch X fortgeschafft, sodass 

 sich ergiebt: 



52/'"' - 3/'^iv = 0. 



Wir bemerken noch, dass die Geraden als degenerierte Parabeln auf- 

 gefasst werden können, also jede Transformation, die Parabeln in Parabeln 

 überführt, auch Geraden in Geraden verwandelt, d. h. an sich projectiv ist. 



Satz 3: Die linearen Transformationen können definiert werden als 

 diejenigen PunJcttransformationen überhaupt, welche die Differentialgleichimg 

 vierter Ordnung 



invaria/nt lassen*). 



Transrais . ^^^ fanden als allgemeinste infinitesimale lineare Transformation 

 Erzeuger diese : 



endlicher ^j. , 



Da wir Uf und c • üf als im Grunde identische infinitesimale Trans- 

 formationen betrachten, sobald c eine Constante ist, so giebt es folglich 

 gerade oo^ infinitesimale lineare Transformationen. Eine beliebige 

 derselben erzeugt nun durch fortwährende Wiederholung oo^ endliche 



*) Diese Definition aller linearen Transformationen dürfte zuerst von Scheffers 

 ausgesprochen worden sein. 



