Die allgemeine lineare Gruppe. 87 



Transformationen, die eine eingliedrige Gruppe bilden. Es liegt nahe 

 zu vermuten, dass es lineare Transformationen sind. Wir werden dies 

 analog, dem früheren Beweise für projeetive Transformationen über- 

 haupt (in § 4 des 2. Kap.) zeigen. 



Es handelt sieh darum, nachzuweisen, dass das simultane System 



dessen Integration mit den Anfangswerten x, y von a;^, y^ für ^ = 

 die endlichen Gleichungea der eingliedrigen Gruppe Uf liefert, durch 

 Gleichungen von der Form 



(3) x^ = a,x + h^y -\- c,, y^ = a.^x + \y + c, 



integriert wird, in denen die a, &, c gewisse Functionen des Para- 

 meters t bedeuten. 



Die Gleichungen (3) sind die Integralgleichungen von (2), wenn 

 identisch für jedes x und y: 



^^ + ^y+ -^j = «1 (a,x + &i!/ + q) + ß, {a.x + h,y + c,) + y, , 

 ^ X -j- '-^ y -j- '-^ = a^ia.x + h,y + c,) + ß,{a^x + l./y + c,) + y^ 

 wird, oder also, wenn die a, h, c die Gleichungen erfüllen: 



Diese sechs linearen Differentialgleichungen aber lassen sich sicher 

 erfüllen durch gewisse Functionen a^, \, c^, a^, &2> ^ ^'^^ t. Die 

 Integrationsconstanten sind so zu particularisieren, dass a^ und \ für 

 t = gleich Eins, die übrigen \, c^, a^, c^ aber gleich Null werden, 

 denn nur dann geben die Gleichungen (3) für t = die identische 

 Transformation. Dass diese Specialisierung möglich ist, folgt daraus, 

 dass sich die a, h, c vermöge (4) nach Potenzen von t entwickeln lassen, 

 ohne dass durch (4) die Anfangsglieder bestimmt werden, denn nach 



(4) ist offenbar z. B. 



o, = a,' + Ka," + ß,a,'jt + • • •, a, = < + («.r/^« + ß,a.;)t + • -, 



wenn unter a^^, a^^ Integrationsconstanten verstanden werden. Diese 

 Werte aber reducieren sich für ^ = auf a^^, a^, die wir also gleich 

 1 und annehmen werden. Ahnlich verhält es sich mit den Ent- 

 wickelungen von h^, h^ und c^, Cg- 



