88 



Kapitel 4, § 1. 



Es ist also bewiesen: 



Satz 4 : Die von einer infinitesimalen linearen Transformation der 

 Ebene erzeugte eingliedrige Gruppe bestellt aus linearen Transformgtionen. 



Für die Praxis gewährt die Zürückführung der Gleichungen (2) 

 auf die Gleichungen (4) keine Vorteile. Vielmehr wird man im ge- 

 gebenen Falle direct die Gleichungen (2) zu integrieren suchen. Wir 

 kommen darauf nachher zurück. 



Man bemerkt, dass die Gleichungen (4) ^ie a^, b^, c^ und a^, b^, Cg 

 als Functionen von a^t, ß^t, y^t und «2^7 /^2^; 72^ bestimmen, die 

 hinsichtlich dieser sechs Grössen unabhängig sind. Denn es ist nach 

 (4) die Functionaldeterminante: 



y, _. da^ dhi dcf da^ dh.^ dc^ 



— dä~t djji dyj F^t dj^t J^t "^ 



«1 



«2 





 

 

 



h 





 

 

 





 

 

 «J 



«2 









 

 



1 



= (a,Z>2 — a.,h,y, 



also gleich J^^O. Es besteht daher keine Relation zwischen %, b^, c^, 

 «2, &2J <^2 allein. Dieser Umstand gestattet sofort die Beantwortung 

 lin'' Trans- ^^^ Frage, ob die 00'^ von den infinitesimalen linearen Transformationen 

 erzeugÄ ^^zeugten eingliedrigen Gruppen von je 00^ endlichen linearen Trans- 

 '"rrWor-''^o^'^^^*io^6^ a^ich alle c»^' endlichen linearen Transformationen ent- 

 mationen. halten oder nicht. Ist nämlich eine endliche lineare Transformation (3) 

 gegeben, sind also a^, b^, c^, a^, b^, c^ gegebene Zahlen, so bestimmen 

 die Integrationsgleichungen des Systems (4) wegen ihrer Unabhängig- 

 keit «1^, ß^t, yyt, a^t, ß^t, y^t, d. h. die Verhältnisse der a^, jSj, 

 yi? "2> /^2; ^2 als Zahlen. Jede endliche lineare Transformation (3) 

 wird also von einer infinitesimalen linearen Transformation 



?7/"= («1^ + ^1«/ + yj^9 -f («2^ + ^2?/ + ^2)9' 

 erzeugt, denn in TJf kommt es ja eben gerade nur auf die Verhält- 

 nisse der «1, /3i, y^, a^, ß^, y^ an. Also: 



Satz 5 : Jede endliche lineare Transformation gehört mindestens 

 einer eingliedrigen linearen Gruppe an. 



Die Sätze 4 und 5 lassen sich in dem Theorem zusammenfassen: 



Lin. Gruppe, 

 erzeugt von 



'rr9.^toTm.mationen der Ebene erzeugen die sechsgliedrige Gruppe aller 



Theorem 8: Die 00^ infinitesimalen linearen Transfor- 



