Innerlialb 

 der linearen 



Die allgemeine lineare Gruppe. 89 



endlichen linearen Transformationen der Ebene. Diese Gruppe 

 zerfällt dementsprechend in cx)^ eingliedrige Untergruppen, und 

 jede endliche lineare Transformation gehört einer oder einer 

 discreten Anzahl derselben an. 



Wenn wir auf eine lineare Transformation S eine andere lineare 

 Transformation T ausführen, so entstellt die Transformation T^^ST 

 (vgl. Satz 5, § 2 des 3. Kap.), die ebenfalls linear ist. Einmal folgt 

 dies rein begrifflich: Denn T'^, S und T verwandeln alle drei 

 Parallelenbüschel wieder in Parallelenbüschel, mithin führt auch 

 T-^ST Parallelen in Parallelen über, d. h. T-^ST ist eine lineare 

 Transformation. Aber man kann es natürlich auch analytisch einsehen. 



Eine lineare Transformation T führt nun alle Transformationen 

 einer eingliedrigen linearen Gruppe wieder in die Transformationen 

 einer solchen über, insbesondere die infinitesimale Transformation der 

 ersteren in die der letzteren Gruppe, nach Satz 7, § 2 des 3. Kap. 



Wir werden alle diejenigen eingliedrigen linearen Gruppen mit 

 einander innerhalb der allgemeinen linearen Gruppe gleichberechtigt g[e\^]^! 

 nennen, die durch lineare Transformation in einander überführbar sind.J^^^^'j^^*^«^^ 

 Alsdann können wir nach typischen Formen für die verschiedenen s^"uppeu. 

 Scharen von gleichberechtigten eingliedrigen linearen Gruppen fragen. 

 Diese Frage wurde schon in § 3 des 3. Kap. durch Satz 12 erledigt. 

 Jenen Satz werden wir jetzt so aussprechen: 



Satz 6 : Jede eingliedrige lineare Gruppe ist innerhalb der all- 

 gemeinen linearen Gruppe gleichberechtigt mit einer der acht folgenden: 



xp + ayq, xp-]r ix-]r y)q_, p + yq, i? + ^Q, 



yq, xp + yq, xq, q. 



Schon damals gaben wir die Figuren der invarianten Punkte und 

 Geraden bei diesen acht Typen an. (Siehe Fig. 8.) Danach ist es 

 klar, dass keiner dieser Typen überzählig ist, denn es giebt keine 

 lineare Transformation, also keine die unendlich ferne Gerade in sich 

 überführende projective Transformation, die eine jener invarianten 

 Figuren in eine andere derselben überführt. 



Wir kommen schliesslich auf das Problem der Integration des 

 Systems (2) oder: 



zurück, welche die endlichen Gleichungen der von 



üf= {a,x + ß;y + y,)p + (a^x + ß,y + y^Jq 



