90 Kapitel 4, § 1. 



erzeugten eingliedrigen linearen Gruppe liefert. Das System (5) ist 



ein sogenanntes d'Älenibert^scJies System, und man kann einsehen, dass 



ber^sches ^^^ d'Alemberfsche Integrationsmethode desselben in sehr enger Beziehung 



System, ^^^y ZtirücJcführung der infinitesimalen Transformation üf auf eine ihrer 



acht typischen Formen steht. 



Das d'Alembert'sche Verfahren besteht bekanntlich darin, dass 



man zwei Zahlen A, fi so zu bestimmen sucht, dass : 



wird. Alsdann nämlich ist diese Gleichung leicht zu integrieren. Sie 

 liefert ja, wenn p =|= ist : 



Xx, + ^?/, + ^ = eQ' [kx + [ly + ^) 

 und, wenn (> = ist : 



XXi -\- uy^ =-= Xx -\- ^y -\- nt. 

 Existieren nun zwei Verhältnisse A : fi, für welche je eine Gleichung 

 von der Form (6) besteht, so erhalten wir so zwei von einander un- 

 abhängige Integralgleichungen und das Integrationsgeschäft ist zu 

 Ende. Andernfalls dagegen müssen wir andere Wege einschlagen. 

 Wir werden die Fälle einzeln besprechen: 

 Da nach (5) 



^T--^ = ^(«1^1 + ^^y^ + y^) + ^«(«2^1 + ß.y. + r.) 



ist, so ist (6) dann und nur dann richtig, wenn 



>7N |(«1 — 9)A + «2^ = 0, 



IPi^ + (P2 — Q)i^ = 0, 

 ist. Weil X, fi, auf deren Verhältnis es nur ankommt, nicht beide 

 Null sein sollen, muss demnach q so gewählt werden, dass : 



(8) ^W-'"7' /' 1=0 



ßi ß-z — 9 ^ 



wird. ^(p) = ist eine quadratische Gleichung für q, die mindestens 

 eine endliche Wurzel besitzt. Für jede Wurzel q liefert (7) einen 

 Wert des Verhältnisses X : jt. Bekanntlich ergiebt (7) unendlich viele 

 Werte des Verhältnisses dann und nur dann, wenn alle Glieder der 

 Determinante ^{q) verschwinden. Endlich gehören zu zwei ver- 

 schiedenen Werten q^ und q^, die (8) erfüllen, auch verschiedene 

 Werte des Verhältnisses X : ^. 



Nach diesen Vorbemerkungen gehen wir zur Erledigung der ein- 

 zelnen Fälle über, die möglich sind, wenn die Gleichung J{q) = 

 zwei verschiedene Wurzeln besitzt: 



