Die allgemeine lineare Gruppe. 91 



I. j(q) = hat zwei von einander und von Null verschiedene ^.i^*/^^7,;^ 



-rrr 1 d'Alembert. 



Wurzeln ()i, Q2'- 



Dann verschwinden weder für g^ noch für q^ alle Glieder der Deter- 

 minante J{q). Zu jeder Wurzel bestimmen wir also das zugehörige 

 Verhältnis X : [i. Es sei dies A, : ^^ und Ag : ftg. Dann giebt die letzte 



Gleichung (7) jedesmal einen Wert w, etwa n^ und ti^. Sei ^= v^, 

 ^ = ^2, so ergeben sich also die Integralgleichungen: 



^1^1 + .«12/1 + ^^1 = e'J^'(X,x + ^i,y + Vi), 



^2^1 + .«2?/i + ^2 = ec-^'C^a^ + ^2y 4- ^2)- 

 Hiermit ist das Integrationsgeschäft erledigt. Wir bemerken, dass 

 wir Ai^ + /*!?/ + ^1 und Aa^: + ftg?/ + ^2 ^^^ neue Veränderliche ^ 

 und y einführen können. Dann käme: 



Xj^ = e^'^x, y^ = e^-^'y, 

 und 



-^ — Qi^i, -^ — Q%yi' 



TJf würde also auf die Form QiXp-\-Q^yq reduciert sein, in der ()i + 9^; 

 p^ =1= 0, ()2 H= ist. Bekanntlich lässt diese infinitesimale Transfor- 

 mation TJf swei Geraden im Endlichen invariant (vgl. Fig. 8, § 3 des 

 3. Kap.). In der That sind — in den ursprünglichen Veränder- 

 lichen ic, y: 



X^x + [jL^y + ?^i = 0, L^x 4- ^,y -f- v. = 



diese Geraden, wie man sofort aus den Integralgleichungen sieht. Die 

 d'Alembert'sche Methode läuft also darauf hinaus, die im Endlichen 

 gelegenen, bei TJf invarianten Geraden zu finden. 



II. J{q) = hat zwei verschiedene Wurzeln, deren eine, q, von 

 Null verschieden, deren andere gleich Null ist. Zur ersteren Wurzel 

 gehört ein bestimmtes Verhältnis Aj : iw^ und nach der letzten Glei- 

 chung (7) ein gewisses n^. Setzen wir — =Vi, so ergiebt sich als 

 eine Integralgleichung diese : 



K^i + fti!/i + ^'i = ef^'ih^ + ^i2/ + Vi)- 

 Zur zweiten Wurzel von /1{q) == gehört auch ein gewisses Ver- 

 hältnis A2 : /lig und nach (7) ein gewisses n^. Dann haben wir: 



== n. 



dt 

 oder integriert: 



(9) Aga^i -f ii^yi = Ago; -j- fi^!/ + ^J- 



